Theorem 4001prm 15690

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 15653	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 11068	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 11401	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 11401	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 11188	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 11184	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11388	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 9873	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 11411	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2635	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 10177	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 11189	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 11192	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 11533	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 10977	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 10104	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 6, 23, 25	decmul1 11461	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 6, 26, 25	decmul1 11461	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2635	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 10169	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2619	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 11187	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 11062	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 11394	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 11063	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 11186	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 11028	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 12805	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 11515	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 10968	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 11510	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 9926	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 10103	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 11455	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 11463	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 15620	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 11190	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 11191	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 10981	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 11034	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 10107	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 11055	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 11030	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 11053	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 10983	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 10107	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 11453	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 11056	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 11033	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 11054	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 10979	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 11474	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 10107	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 11453	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 11444	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 11032	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 10972	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 11511	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 9926	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 11411	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 11463	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 11465	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2635	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 11556	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 10908	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 11555	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 11422	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 11408	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 4610	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 15688	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 15689	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 15449	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  ℕ₀cn0 11169  ;cdc 11369  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380

This theorem is referenced by: (None)