Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001prm 15690
 Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 15653 . 2 5 ∈ ℙ
2 8nn 11068 . . . 4 8 ∈ ℕ
32decnncl2 11401 . . 3 80 ∈ ℕ
43decnncl2 11401 . 2 800 ∈ ℕ
5 4nn0 11188 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
6 0nn0 11184 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11388 . . . . . . 7 40 ∈ ℕ0
87, 6deccl 11388 . . . . . 6 400 ∈ ℕ0
98, 6deccl 11388 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
109nn0cni 11181 . . . 4 4000 ∈ ℂ
11 ax-1cn 9873 . . . 4 1 ∈ ℂ
12 4001prm.1 . . . . 5 𝑁 = 4001
1311addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 eqid 2610 . . . . . 6 4000 = 4000
158, 6, 13, 14decsuc 11411 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1612, 15eqtr4i 2635 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
1710, 11, 16mvrraddi 10177 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
18 5nn0 11189 . . . 4 5 ∈ ℕ0
19 8nn0 11192 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2019, 6deccl 11388 . . . 4 80 ∈ ℕ0
21 eqid 2610 . . . 4 800 = 800
22 eqid 2610 . . . . 5 80 = 80
23 8t5e40 11533 . . . . 5 (8 · 5) = 40
24 5cn 10977 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
2524mul02i 10104 . . . . 5 (0 · 5) = 0
2618, 19, 6, 22, 6, 23, 25decmul1 11461 . . . 4 (80 · 5) = 400
2718, 20, 6, 21, 6, 26, 25decmul1 11461 . . 3 (800 · 5) = 4000
2817, 27eqtr4i 2635 . 2 (𝑁 − 1) = (800 · 5)
29 1nn0 11185 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
308, 29deccl 11388 . . . . . 6 4001 ∈ ℕ0
3112, 30eqeltri 2684 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3231nn0cni 11181 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
33 npcan 10169 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3432, 11, 33mp2an 704 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
3534eqcomi 2619 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36 3nn0 11187 . . 3 3 ∈ ℕ0
37 2nn 11062 . . 3 2 ∈ ℕ
3836, 37decnncl 11394 . 2 32 ∈ ℕ
39 3nn 11063 . 2 3 ∈ ℕ
40 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4136, 40deccl 11388 . . . 4 32 ∈ ℕ0
4229, 40deccl 11388 . . . 4 12 ∈ ℕ0
43 2p1e3 11028 . . . . 5 (2 + 1) = 3
4424sqvali 12805 . . . . . . 7 (5↑2) = (5 · 5)
45 5t5e25 11515 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
4644, 45eqtri 2632 . . . . . 6 (5↑2) = 25
47 2cn 10968 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
48 5t2e10 11510 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
4924, 47, 48mulcomli 9926 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
5047addid2i 10103 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
5129, 6, 40, 49, 50decaddi 11455 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = 12
5218, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45decmul1c 11463 . . . . 5 ((5↑2) · 5) = 125
5318, 40, 43, 52numexpp1 15620 . . . 4 (5↑3) = 125
54 6nn0 11190 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
5529, 54deccl 11388 . . . 4 16 ∈ ℕ0
56 eqid 2610 . . . . 5 12 = 12
57 eqid 2610 . . . . 5 16 = 16
58 7nn0 11191 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
59 7cn 10981 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
60 7p1e8 11034 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6159, 11, 60addcomli 10107 . . . . . . 7 (1 + 7) = 8
6261, 19eqeltri 2684 . . . . . 6 (1 + 7) ∈ ℕ0
63 eqid 2610 . . . . . 6 32 = 32
64 3t1e3 11055 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
6564oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66 3p1e4 11030 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
6765, 66eqtri 2632 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
68 2t1e2 11053 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
6968, 61oveq12i 6561 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70 8cn 10983 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
71 8p2e10 11486 . . . . . . . 8 (8 + 2) = 10
7270, 47, 71addcomli 10107 . . . . . . 7 (2 + 8) = 10
7369, 72eqtri 2632 . . . . . 6 ((2 · 1) + (1 + 7)) = 10
7436, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73decrmac 11453 . . . . 5 ((32 · 1) + (1 + 7)) = 40
75 3t2e6 11056 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
7675oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77 6p1e7 11033 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
7876, 77eqtri 2632 . . . . . 6 ((3 · 2) + 1) = 7
79 2t2e4 11054 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
8079oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81 6cn 10979 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
82 4cn 10975 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
83 6p4e10 11474 . . . . . . . 8 (6 + 4) = 10
8481, 82, 83addcomli 10107 . . . . . . 7 (4 + 6) = 10
8580, 84eqtri 2632 . . . . . 6 ((2 · 2) + 6) = 10
8636, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85decrmac 11453 . . . . 5 ((32 · 2) + 6) = 70
8729, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86decma2c 11444 . . . 4 ((32 · 12) + 16) = 400
88 5p1e6 11032 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
89 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
90 5t3e15 11511 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
9124, 89, 90mulcomli 9926 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
9229, 18, 88, 91decsuc 11411 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
9318, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49decmul1c 11463 . . . 4 (32 · 5) = 160
9441, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93decmul2c 11465 . . 3 (32 · (5↑3)) = 4000
9517, 94eqtr4i 2635 . 2 (𝑁 − 1) = (32 · (5↑3))
96 2lt10 11556 . . . 4 2 < 10
97 1nn 10908 . . . . 5 1 ∈ ℕ
98 3lt10 11555 . . . . 5 3 < 10
9997, 40, 36, 98declti 11422 . . . 4 3 < 12
10036, 42, 40, 18, 96, 99decltc 11408 . . 3 32 < 125
101100, 53breqtrri 4610 . 2 32 < (5↑3)
102124001lem3 15688 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103124001lem4 15689 . 2 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
1041, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103pockthi 15449 1 𝑁 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  ℕ0cn0 11169  ;cdc 11369  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator