Theorem 3exp4mod41 40071

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 11021	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2619	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 6560	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 10972	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 11186	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 12764	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 12823	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 11546	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2636	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 6559	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 11373	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 11058	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 9926	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 9873	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 10238	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 11012	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 11390	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 10907	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 9924	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 9924	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 11001	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 9927	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 9924	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 9929	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2619	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 10110	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 11053	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2641	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2638	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 6559	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 11188	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 10908	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 11394	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 10907	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 9924	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 10106	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 6559	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 11002	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 11718	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 11286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 12567	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1416	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2632	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2636	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  8c8 10953  9c9 10954  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369  ℝ⁺crp 11708   mod cmo 12530  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  40073