MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfectlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectlem2 24755
Description: Lemma for perfect 24756. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 17-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Proof of Theorem perfectlem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectlem.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2 1red 9934 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 perfectlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
4 perfectlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
5 perfectlem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
63, 1, 4, 5perfectlem1 24754 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
76simp3d 1068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
87nnred 10912 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
91nnred 10912 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
107nnge1d 10940 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
11 2cn 10968 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
12 exp1 12728 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
14 df-2 10956 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1513, 14eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
16 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 1zzd 11285 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
193peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2019nnzd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
21 1lt2 11071 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
23 1re 9918 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
243nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
25 ltaddrp 11743 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
2623, 24, 25sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
27 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
283nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
29 addcom 10101 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3027, 28, 29sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3126, 30breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐴 + 1))
32 ltexp2a 12774 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 1 < (𝐴 + 1))) → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3317, 18, 20, 22, 31, 32syl32anc 1326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3415, 33syl5eqbrr 4619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)))
356simp1d 1066 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
3635nnred 10912 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
372, 2, 36ltaddsubd 10506 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
3834, 37mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
39 0lt1 10429 . . . . . . . . 9 0 < 1
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
41 peano2rem 10227 . . . . . . . . 9 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
4236, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
43 expgt1 12760 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
4417, 19, 22, 43syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
45 posdif 10400 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4623, 36, 45sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4744, 46mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
481nngt0d 10941 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐵)
49 ltdiv2 10788 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
502, 40, 42, 47, 9, 48, 49syl222anc 1334 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
5138, 50mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1))
521nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5352div1d 10672 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 1) = 𝐵)
5451, 53breqtrd 4609 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < 𝐵)
552, 8, 9, 10, 54lelttrd 10074 . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐵)
56 eluz2b2 11637 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
571, 55, 56sylanbrc 695 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
58 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
59 dvdsssfz1 14878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
601, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
61 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6258, 60, 61syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6362ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
64 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ)
6665sselda 3568 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
6766nnred 10912 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
6866nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6968nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
70 df-tp 4130 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛})
71 prssi 4293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
727, 1, 71syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
7372ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
74 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℕ)
7574snssd 4281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑛} ⊆ ℕ)
7673, 75unssd 3751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}) ⊆ ℕ)
7770, 76syl5eqss 3612 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ ℕ)
78 eltpi 4176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛))
796simp2d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
8079nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
817nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ)
82 dvdsmul2 14842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8380, 81, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8479nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
8579nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ≠ 0)
8652, 84, 85divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = 𝐵)
8783, 86breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵)
88 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵))
8987, 88syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
9089ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
911nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
92 iddvds 14833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐵)
94 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
9593, 94syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
9695ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
97 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛𝐵)
98 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝐵𝑛𝐵))
9997, 98syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝑛𝑥𝐵))
10090, 96, 993jaod 1384 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛) → 𝑥𝐵))
10178, 100syl5 33 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → 𝑥𝐵))
102101imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑥𝐵)
10377, 102ssrabdv 3644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
10463, 67, 69, 103fsumless 14369 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
105 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
106 disjsn 4192 . . . . . . . . . . . 12 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
107105, 106sylibr 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅)
10870a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}))
109 tpfi 8121 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin)
11177sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℕ)
112111nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℂ)
113107, 108, 110, 112fsumsplit 14318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘))
1147nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
116115sumsn 14319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
1177, 114, 116syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐵)
119118sumsn 14319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
1201, 52, 119syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
121117, 120oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
122 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵})
1238, 54gtned 10051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
124 disjsn2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
126122, 125syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵}) = ∅)
127 df-pr 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵})
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵}))
129 prfi 8120 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin)
13172sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
132131nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
133126, 128, 130, 132fsumsplit 14318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘))
13484, 52mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) ∈ ℂ)
13552, 134, 84, 85divdird 10718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
13635nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
137 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
138136, 137, 52subdird 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
13952mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
140139oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
141138, 140eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
142141oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)))
143136, 52mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∈ ℂ)
14452, 143pncan3d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
145142, 144eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
146145oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
147136, 52, 84, 85divassd 10715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
148146, 147eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
14952, 84, 85divcan3d 10685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 𝐵)
150149oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
151135, 148, 1503eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
152121, 133, 1513eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
153152ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
15474nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℂ)
155 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
156155sumsn 14319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
157154, 154, 156syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
158153, 157oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
159113, 158eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
1603nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
161 expp1 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
16211, 160, 161sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
163 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
164 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
165163, 160, 164sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
166165nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
167 mulcom 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
168166, 11, 167sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
169162, 168eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
170169oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
171 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
172171, 166, 52mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
173 2prm 15243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℙ
174 coprm 15261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
175173, 91, 174sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
1764, 175mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
177 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
179 rpexp1i 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
180178, 91, 160, 179syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
181176, 180mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
182 sgmmul 24726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
183137, 165, 1, 181, 182syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
184 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
18528, 27, 184sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
186185oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
187186oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
188 1sgm2ppw 24725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
18919, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
190187, 189eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
191190oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
192183, 5, 1913eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
193170, 172, 1923eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
194193oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
195 1nn0 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
196 sgmnncl 24673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
197195, 1, 196sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
198197nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℂ)
199198, 84, 85divcan3d 10685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (1 σ 𝐵))
200194, 147, 1993eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = (1 σ 𝐵))
201 sgmval 24668 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
20227, 1, 201sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
203 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
20464, 203sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
205204nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
206205cxp1d 24252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑘𝑐1) = 𝑘)
207206sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
208200, 202, 2073eqtrrd 2649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
209208ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
210104, 159, 2093brtr3d 4614 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
21136, 8remulcld 9949 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
212211ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
21374nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ+)
214212, 213ltaddrpd 11781 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
21574nnred 10912 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ)
216212, 215readdcld 9948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ∈ ℝ)
217212, 216ltnled 10063 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
218214, 217mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
219210, 218condan 831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
220 elpri 4145 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
221219, 220syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
222221expr 641 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
223222ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
2242, 55gtned 10051 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≠ 1)
225224necomd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
226 1nn 10908 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
228 1dvds 14834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐵)
22991, 228syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∥ 𝐵)
230 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝑛𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
231 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ↔ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
232 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = 𝐵 ↔ 1 = 𝐵))
233231, 232orbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
234230, 233imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
235234rspcv 3278 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) → (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
236227, 223, 229, 235syl3c 64 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))
237236ord 391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 = 𝐵))
238237necon1ad 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ≠ 𝐵 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
239225, 238mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
240239eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
241240orbi1d 735 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
242241imbi2d 329 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
243242ralbidv 2969 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
244223, 243mpbird 246 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)))
245 isprm2 15233 . . 3 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵))))
24657, 244, 245sylanbrc 695 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℙ)
247211ltp1d 10833 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
248 peano2re 10088 . . . . . 6 (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
249211, 248syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
250211, 249ltnled 10063 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
251247, 250mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
252204nnred 10912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
253204nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254253nn0ge0d 11231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
255 df-tp 4130 . . . . . . . . . 10 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1})
256 snssi 4280 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
257226, 256mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {1} ⊆ ℕ)
25872, 257unssd 3751 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}) ⊆ ℕ)
259255, 258syl5eqss 3612 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
260 eltpi 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1))
261 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
262229, 261syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 = 1 → 𝑥𝐵))
26389, 95, 2623jaod 1384 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1) → 𝑥𝐵))
264260, 263syl5 33 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → 𝑥𝐵))
265264imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑥𝐵)
266259, 265ssrabdv 3644 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
26762, 252, 254, 266fsumless 14369 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
268267adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
26952, 84, 85diveq1ad 10689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 ↔ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
270269necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1 ↔ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
271270biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1)
272271necomd 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
273225adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ 𝐵)
274272, 273nelprd 4151 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
275 disjsn 4192 . . . . . . . . 9 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
276274, 275sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅)
277255a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}))
278 tpfi 8121 . . . . . . . . 9 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin
279278a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin)
280259adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
281280sselda 3568 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℕ)
282281nncnd 10913 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℂ)
283276, 277, 279, 282fsumsplit 14318 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘))
284 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
285284sumsn 14319 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
2862, 27, 285sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
287152, 286oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
288287adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
289283, 288eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
290208adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
291268, 289, 2903brtr3d 4614 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
292291ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
293292necon1bd 2800 . . 3 (𝜑 → (¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
294251, 293mpd 15 . 2 (𝜑𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
295246, 294jca 553 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3o 1030   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  ...cfz 12197  cexp 12722  Σcsu 14264  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223  𝑐ccxp 24106   σ csgm 24622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-sgm 24628
This theorem is referenced by:  perfect  24756
  Copyright terms: Public domain W3C validator