Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfectlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectlem1 24754
 Description: Lemma for perfect 24756. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))

Proof of Theorem perfectlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 11062 . . 3 2 ∈ ℕ
2 perfectlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11228 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
4 peano2nn0 11210 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
6 nnexpcl 12735 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 694 . 2 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
102peano2nnd 10914 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
11 1lt2 11071 . . . . 5 1 < 2
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 2)
13 expgt1 12760 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
149, 10, 12, 13syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
15 1nn 10908 . . . 4 1 ∈ ℕ
16 nnsub 10936 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1715, 7, 16sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1814, 17mpbid 221 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
197nnzd 11357 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
20 peano2zm 11297 . . . . . . 7 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
22 1nn0 11185 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
23 perfectlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
24 sgmnncl 24673 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2522, 23, 24sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2625nnzd 11357 . . . . . 6 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℤ)
27 dvdsmul1 14841 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 σ 𝐵) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
2821, 26, 27syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
29 2cn 10968 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
30 expp1 12729 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
3129, 3, 30sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
32 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
331, 3, 32sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
3433nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
35 mulcom 9901 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3634, 29, 35sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3731, 36eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
3837oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
3929a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4023nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4139, 34, 40mulassd 9942 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
42 ax-1cn 9873 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44 perfectlem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
45 2prm 15243 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℙ
4623nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
47 coprm 15261 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
4845, 46, 47sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
4944, 48mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
50 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
52 rpexp1i 15271 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5351, 46, 3, 52syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5449, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
55 sgmmul 24726 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
5643, 33, 23, 54, 55syl13anc 1320 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
57 perfectlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
582nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
59 pncan 10166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
6058, 42, 59sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
63 1sgm2ppw 24725 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6410, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6562, 64eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6665oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6756, 57, 663eqtr3d 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6838, 41, 673eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6928, 68breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
70 gcdcom 15073 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
7121, 19, 70syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
72 iddvdsexp 14843 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
7350, 10, 72sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
74 n2dvds1 14942 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 ∥ 1
75 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7651, 19, 753jca 1235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
77 dvdssub2 14861 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 2 ∥ 1))
7876, 77sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 2 ∥ 1))
7974, 78mtbiri 316 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
8079ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → ¬ 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1))))
8173, 80mt2d 130 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
82 coprm 15261 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8345, 21, 82sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8481, 83mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
85 rpexp1i 15271 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8651, 21, 5, 85syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8784, 86mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
8871, 87eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1)
89 coprmdvds 15204 . . . . 5 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
9021, 19, 46, 89syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
9169, 88, 90mp2and 711 . . 3 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵)
92 nndivdvds 14827 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
9323, 18, 92syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
9491, 93mpbid 221 . 2 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
957, 18, 943jca 1235 1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223   σ csgm 24622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-sgm 24628 This theorem is referenced by:  perfectlem2  24755
 Copyright terms: Public domain W3C validator