MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 15688
Description: Lemma for 4001prm 15690. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11188 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11184 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11388 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11388 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 10908 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 11394 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2684 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11062 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 11388 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 11388 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 11388 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11265 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11185 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 11392 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 11388 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 11388 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11192 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 11388 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 11388 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11189 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 11388 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 11388 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 11279 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11187 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 11388 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 11388 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 11388 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11193 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11388 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 11388 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 15687 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 15686 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2610 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2610 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2610 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2610 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 11486 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10090 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 11446 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 11446 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 11398 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2610 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11181 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10103 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2610 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 10977 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10102 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 11398 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2632 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2684 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2610 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 11513 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 10975 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 10968 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11058 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 9926 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 19, 55, 59decmul1 11461 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10102 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 11452 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11181 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10105 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10103 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2636 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 11444 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10103 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 11398 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2636 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 11444 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 9921 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 9922 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11011 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2632 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 11452 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 11444 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2610 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11190 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 11388 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 11388 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2610 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2610 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2610 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11181 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10102 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11031 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2684 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2610 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 10985 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 11539 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 9926 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 11457 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11191 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11034 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 10972 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 11540 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 9926 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 11411 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 11453 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 11499 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 11453 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 11500 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 11442 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11181 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10105 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2636 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 11444 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11054 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11056 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 86, 123, 124decmul1 11461 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 9922 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 10, 125, 126decmul1 11461 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 10, 127, 126decmul1 11461 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 11465 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2635 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 15610 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11181 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2610 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2610 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 11396 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10104 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 3, 135, 136decmul1 11461 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 3, 137, 136decmul1 11461 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 9926 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 10907 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10104 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 6559 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10103 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2635 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2635 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 15611 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11181 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2610 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 3, 123, 136decmul1 11461 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 3, 149, 136decmul1 11461 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 3, 150, 136decmul1 11461 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 9926 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 11388 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11181 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2610 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 11411 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2635 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10177 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2635 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 15611 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  0cn0 11169  cdc 11369   mod cmo 12530  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  4001prm  15690
  Copyright terms: Public domain W3C validator