Theorem nn0prpw 31488

Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nn0prpw	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4587	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
3	2	ralrimivv 2953	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
4		elnn0 11171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5		elnn0 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8		lttri2 9999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
10	9	ancoms 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
11		nn0prpwlem 31487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
12		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
13		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))
14	13	bibi1d 332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
15	14	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
16	15	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
17	12, 16	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
18	17	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
19	11, 18	mpan9 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
20		nn0prpwlem 31487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
21		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
22		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
23	22	bibi1d 332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
24		bicom 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
25	23, 24	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
26	25	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
27	26	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
28	21, 27	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
29	28	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
30	20, 29	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
31	30	impcom 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
32	19, 31	jaod 394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
33	10, 32	sylbid 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
34		df-ne 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
35		rexnal2 3025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
36	33, 34, 35	3imtr3g 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
37	36	con4d 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
38	37	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
39		prmunb 15456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
40		1nn 10908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
41		prmz 15227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
42		1nn0 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℕ0
43		zexpcl 12737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
44	41, 42, 43	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
45		dvdsle 14870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
46	44, 45	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
47		prmnn 15226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
48		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
50		reexpcl 12739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
51	49, 42, 50	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
52		lenlt 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
53	51, 6, 52	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
54	47	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
55	54	exp1d 12865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
57	56	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
58	57	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
59	53, 58	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
60	46, 59	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
61	60	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
62	61	con2d 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
63	62	3impia 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
64		dvds0 14835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
65	44, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
66	65	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
67		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)))
68	66, 67	mpid 43	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
69	63, 68	mtod 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
70		biimpr 209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
71	69, 70	nsyl 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
72		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑝↑𝑛) = (𝑝↑1))
73	72	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
74	72	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
75	73, 74	bibi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
76	75	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
77	76	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
78	40, 71, 77	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
79	78	3expia 1259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
80	79	reximdva 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
81	39, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
82		rexnal2 3025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
83	81, 82	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
84	83	pm2.21d 117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
85		breq2 4587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
86	85	bibi2d 331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
87	86	2ralbidv 2972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
88		eqeq2 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 0))
89	87, 88	imbi12d 333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
90	84, 89	syl5ibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
91	38, 90	jaoi 393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
92	5, 91	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
93	92	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
94		orcom 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
95		df-or 384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
96	5, 94, 95	3bitri 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
97		prmunb 15456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
98		dvdsle 14870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
99	44, 98	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
100		lenlt 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
101	51, 7, 100	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
102	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
103	102	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
104	103	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
105	101, 104	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
106	99, 105	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
107	106	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
108	107	con2d 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
109	108	3impia 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
110	65	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
111		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
112	110, 111	mpid 43	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
113	109, 112	mtod 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
114		biimp 204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
115	113, 114	nsyl 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
116	72	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
117	74, 116	bibi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
118	117	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
119	118	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
120	40, 115, 119	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
121	120	3expia 1259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
122	121	reximdva 3000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
123	97, 122	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
124		rexnal2 3025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
125	123, 124	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
126	125	imim2i 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
127	96, 126	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
128	127	con4d 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
129		eqcom 2617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
130	128, 129	syl6ib 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
131		breq2 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
132	131	bibi1d 332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
133	132	2ralbidv 2972	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
134		eqeq1 2614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
135	133, 134	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
136	130, 135	syl5ibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
137	93, 136	jaoi 393	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
138	137	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
139	4, 138	sylanb 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
140	3, 139	impbid2 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224

This theorem is referenced by: (None)