Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prm 15669
 Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11185 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11187 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11069 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11394 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11192 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11188 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11193 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11098 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11555 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11549 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11414 . 2 139 < 841
13 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11394 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11557 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11422 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11058 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 10963 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15605 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 6nn0 11190 . . . 4 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 11388 . . 3 46 ∈ ℕ0
22 1nn 10908 . . 3 1 ∈ ℕ
23 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2610 . . . 4 46 = 46
251dec0h 11398 . . . 4 1 = 01
26 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2726addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 6560 . . . . 5 ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29 2nn0 11186 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
30 2p1e3 11028 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
317nn0cni 11181 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 4t3e12 11508 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
3431, 32, 33mulcomli 9926 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
351, 29, 30, 34decsuc 11411 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
3628, 35eqtri 2632 . . . 4 ((3 · 4) + (0 + 1)) = 13
37 8p1e9 11035 . . . . 5 (8 + 1) = 9
3820nn0cni 11181 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
39 6t3e18 11518 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
4038, 32, 39mulcomli 9926 . . . . 5 (3 · 6) = 18
411, 6, 37, 40decsuc 11411 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
427, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41decma2c 11444 . . 3 ((3 · 46) + 1) = 139
43 1lt3 11073 . . 3 1 < 3
4413, 21, 22, 42, 43ndvdsi 14974 . 2 ¬ 3 ∥ 139
45 4nn 11064 . . 3 4 ∈ ℕ
46 4lt5 11077 . . 3 4 < 5
47 5p4e9 11044 . . 3 (5 + 4) = 9
483, 45, 46, 47dec5dvds2 15607 . 2 ¬ 5 ∥ 139
49 7nn 11067 . . 3 7 ∈ ℕ
501, 8deccl 11388 . . 3 19 ∈ ℕ0
51 6nn 11066 . . 3 6 ∈ ℕ
52 eqid 2610 . . . 4 19 = 19
5320dec0h 11398 . . . 4 6 = 06
54 7nn0 11191 . . . 4 7 ∈ ℕ0
55 7cn 10981 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5655mulid1i 9921 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
5738addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5856, 57oveq12i 6561 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59 7p6e13 11484 . . . . 5 (7 + 6) = 13
6058, 59eqtri 2632 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
61 9cn 10985 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
62 9t7e63 11544 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
6361, 55, 62mulcomli 9926 . . . . 5 (7 · 9) = 63
64 6p3e9 11047 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6538, 32, 64addcomli 10107 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6620, 2, 20, 63, 65decaddi 11455 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
671, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66decma2c 11444 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
68 6lt7 11086 . . 3 6 < 7
6949, 50, 51, 67, 68ndvdsi 14974 . 2 ¬ 7 ∥ 139
701, 22decnncl 11394 . . 3 11 ∈ ℕ
711, 29deccl 11388 . . 3 12 ∈ ℕ0
72 eqid 2610 . . . 4 12 = 12
7354dec0h 11398 . . . 4 7 = 07
741, 1deccl 11388 . . . 4 11 ∈ ℕ0
75 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7675addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7776oveq2i 6560 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7870nncni 10907 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7978mulid1i 9921 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
80 1p2e3 11029 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
811, 1, 29, 79, 80decaddi 11455 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8277, 81eqtri 2632 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
83 eqid 2610 . . . . 5 11 = 11
8475mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
85 00id 10090 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8684, 85oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8775addid1i 10102 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8886, 87eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8984oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90 7p2e9 11049 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
9155, 75, 90addcomli 10107 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
928dec0h 11398 . . . . . 6 9 = 09
9389, 91, 923eqtri 2636 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
941, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93decmac 11442 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
951, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94decma2c 11444 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
96 7lt10 11551 . . . 4 7 < 10
9722, 1, 54, 96declti 11422 . . 3 7 < 11
9870, 71, 49, 95, 97ndvdsi 14974 . 2 ¬ 11 ∥ 139
99 10nn0 11392 . . 3 10 ∈ ℕ0
100 eqid 2610 . . . 4 10 = 10
101 eqid 2610 . . . . 5 13 = 13
10223dec0h 11398 . . . . . 6 0 = 00
10385, 102eqtri 2632 . . . . 5 (0 + 0) = 00
10426mulid1i 9921 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105104, 85oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10626addid1i 10102 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
107105, 106eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10832mulid1i 9921 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
109108oveq1i 6559 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
11032addid1i 10102 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
1112dec0h 11398 . . . . . 6 3 = 03
112109, 110, 1113eqtri 2636 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
1131, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112decmac 11442 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
1143nn0cni 11181 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
115114mul01i 10105 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
116115oveq1i 6559 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
11761addid2i 10103 . . . . 5 (0 + 9) = 9
118116, 117, 923eqtri 2636 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1191, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118decma2c 11444 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
12022, 2, 8, 11declti 11422 . . 3 9 < 13
12114, 99, 4, 119, 120ndvdsi 14974 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1221, 49decnncl 11394 . . 3 17 ∈ ℕ
123 eqid 2610 . . . 4 17 = 17
124 5nn0 11189 . . . 4 5 ∈ ℕ0
125 8cn 10983 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126125mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
127 5cn 10977 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
128127addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
129126, 128oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130 8p5e13 11491 . . . . 5 (8 + 5) = 13
131129, 130eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
132 8t7e56 11537 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
133125, 55, 132mulcomli 9926 . . . . 5 (7 · 8) = 56
134124, 20, 2, 133, 64decaddi 11455 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1351, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134decmac 11442 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
13622, 54, 2, 10declti 11422 . . 3 3 < 17
137122, 6, 13, 135, 136ndvdsi 14974 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1381, 4decnncl 11394 . . 3 19 ∈ ℕ
13955mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
140139, 57oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141140, 59eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
14220, 2, 20, 62, 65decaddi 11455 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1431, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142decmac 11442 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
144 6lt10 11552 . . . 4 6 < 10
14522, 8, 20, 144declti 11422 . . 3 6 < 19
146138, 54, 51, 143, 145ndvdsi 14974 . 2 ¬ 19 ∥ 139
14729, 13decnncl 11394 . . 3 23 ∈ ℕ
148 eqid 2610 . . . 4 23 = 23
149 6t2e12 11517 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
15038, 75, 149mulcomli 9926 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1511, 29, 30, 150decsuc 11411 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
15229, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41decrmac 11453 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
153 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
154153, 2, 1, 15declti 11422 . . 3 1 < 23
155147, 20, 22, 152, 154ndvdsi 14974 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1565, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155prmlem2 15665 1 139 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224 This theorem is referenced by:  2503prm  15685
 Copyright terms: Public domain W3C validator