tgblthelfgottOLD - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem tgblthelfgottOLD 40236

Description: Obsolete version of tgblthelfgott 40229 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
tgblthelfgottOLD	⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )

Proof of Theorem tgblthelfgottOLD Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hgprmladderOLD 40235	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
2		1nn0 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
3		1nn 10908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 11394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ
5	4	nnzi 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℤ
6		8nn0 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ₀
7		8nn 11068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;88 ∈ ℕ
9		10nnOLD 11070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 10 ∈ ℕ
10		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
11		9nn 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 11394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;29 ∈ ℕ
13	12	nnnn0i 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;29 ∈ ℕ₀
14		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((10 ∈ ℕ ∧ ;29 ∈ ℕ₀) → (10↑;29) ∈ ℕ)
15	9, 13, 14	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (10↑;29) ∈ ℕ
16	8, 15	nnmulcli 10921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℕ
17	16	nnzi 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℤ
18		1re 9918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	8	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;88 ∈ ℝ
20	18, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ ;88 ∈ ℝ)
21		0le1 10430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
22		1lt10OLD 11115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 10
23	7, 6, 2, 22	decltiOLD 11424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < ;88
24	21, 23	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;88)
25		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (10↑1) ∈ ℕ)
26	9, 2, 25	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑1) ∈ ℕ
27	26	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑1) ∈ ℝ
28	15	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑;29) ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;29) ∈ ℝ)
30		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		10reOLD 10986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 10 ∈ ℝ
32		10posOLD 11000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 10
33	30, 31, 32	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 10
34	9	nncni 10907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 10 ∈ ℂ
35		exp1 12728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑1) = 10
37	33, 36	breqtrri 4610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (10↑1)
38		1z 11284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
39	12	nnzi 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;29 ∈ ℤ
40	31, 38, 39	3pm3.2i 1232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;29 ∈ ℤ)
41		2nn 11062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
42		9nn0 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
43	41, 42, 2, 22	decltiOLD 11424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < ;29
44	22, 43	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 < 10 ∧ 1 < ;29)
45		ltexp2a 12774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < ;29)) → (10↑1) < (10↑;29))
46	40, 44, 45	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑1) < (10↑;29)
47	37, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;29))
48		ltmul12a 10758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ ;88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;29)))) → (1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)))
49	20, 24, 29, 47, 48	mp4an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29))
50	26	nnzi 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑1) ∈ ℤ
51		zmulcl 11303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
52	38, 50, 51	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (;88 · (10↑;29))))
54	52, 17, 53	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (;88 · (10↑;29)))
55		1t10e1p1e11OLD 39938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
56	55	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · (10↑1)) + 1) = ;11
57	56	breq1i 4590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (;88 · (10↑;29)) ↔ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29)))
58	54, 57	bitri 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)) ↔ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29)))
59	49, 58	mpbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29))
60		eluz2 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;88 · (10↑;29)) ∈ (ℤ_≥‘;11) ↔ (;11 ∈ ℤ ∧ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℤ ∧ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29))))
61	5, 17, 59, 60	mpbir3an 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ (;88 · (10↑;29)) ∈ (ℤ_≥‘;11)
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (;88 · (10↑;29)) ∈ (ℤ_≥‘;11))
63		4nn 11064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
64	2, 7	decnncl 11394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 ∈ ℕ
65	64	nnnn0i 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ₀
66		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((10 ∈ ℕ ∧ ;18 ∈ ℕ₀) → (10↑;18) ∈ ℕ)
67	9, 65, 66	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (10↑;18) ∈ ℕ
68	63, 67	nnmulcli 10921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℕ
69	68	nnzi 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ
70		4re 10974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
71	18, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72		1lt4 11076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 4
73	21, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
74	67	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑;18) ∈ ℝ
75	27, 74	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;18) ∈ ℝ)
76	64	nnzi 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;18 ∈ ℤ
77	31, 38, 76	3pm3.2i 1232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;18 ∈ ℤ)
78	3, 6, 2, 22	decltiOLD 11424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < ;18
79	22, 78	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 < 10 ∧ 1 < ;18)
80		ltexp2a 12774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < ;18)) → (10↑1) < (10↑;18))
81	77, 79, 80	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑1) < (10↑;18)
82	37, 81	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;18))
83		ltmul12a 10758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)))
84	71, 73, 75, 82, 83	mp4an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18))
85		4z 11288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
86	67	nnzi 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑;18) ∈ ℤ
87		zmulcl 11303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑;18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ)
88	85, 86, 87	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ
89		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑;18))))
90	52, 88, 89	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑;18)))
91	56	breq1i 4590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑;18)) ↔ ;11 ≤ (4 · (10↑;18)))
92	90, 91	bitri 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)) ↔ ;11 ≤ (4 · (10↑;18)))
93	84, 92	mpbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ≤ (4 · (10↑;18))
94		eluz2 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · (10↑;18)) ∈ (ℤ_≥‘;11) ↔ (;11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ ∧ ;11 ≤ (4 · (10↑;18))))
95	5, 69, 93, 94	mpbir3an 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ (ℤ_≥‘;11)
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (4 · (10↑;18)) ∈ (ℤ_≥‘;11))
97		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98		simprl 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 4 < 𝑛)
99		evenz 40081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
100	99	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
101	68	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℝ
102		ltle 10005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑;18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑;18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18))))
103	100, 101, 102	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑;18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18))))
104	103	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑;18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18)))))
105	104	imp32 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18)))
106		ax-bgbltosilvaOLD 40233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
107	97, 98, 105, 106	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108	107	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110	109	ralrimiv 2948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3))
112	111	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3))
113		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114	113	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
116	115	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
117		simpl1 1057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118	117	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119		simpl2 1058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘1) = ;13)
120	119	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑓‘1) = ;13)
121	6, 11	decnncl 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;89 ∈ ℕ
122	121	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;89 ∈ ℝ
123	15	nngt0i 10931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < (10↑;29)
124	28, 123	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((10↑;29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑;29))
125	19, 122, 124	3pm3.2i 1232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;88 ∈ ℝ ∧ ;89 ∈ ℝ ∧ ((10↑;29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑;29)))
126		8lt9 11099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 < 9
127	6, 6, 11, 126	declt 11406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;88 < ;89
128		ltmul1a 10751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((;88 ∈ ℝ ∧ ;89 ∈ ℝ ∧ ((10↑;29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑;29))) ∧ ;88 < ;89) → (;88 · (10↑;29)) < (;89 · (10↑;29)))
129	125, 127, 128	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;88 · (10↑;29)) < (;89 · (10↑;29))
130		breq2 4587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → ((;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑) ↔ (;88 · (10↑;29)) < (;89 · (10↑;29))))
131	129, 130	mpbiri 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
132	131	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
134	133	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
135	121, 15	nnmulcli 10921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;89 · (10↑;29)) ∈ ℕ
136	135	nnrei 10906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;89 · (10↑;29)) ∈ ℝ
137		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → ((𝑓‘𝑑) ∈ ℝ ↔ (;89 · (10↑;29)) ∈ ℝ))
138	136, 137	mpbiri 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
139	138	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
140	139	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
141	140	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
142	62, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141	bgoldbtbnd 40225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))
143	142	exp31 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))))
144	143	rexlimdva 3013	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) → (∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))))
145	144	imp 444	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ ∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
146	145	rexlimiva 3010	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
147		breq2 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
148		breq1 4586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (;88 · (10↑;29)) ↔ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))))
149	147, 148	anbi12d 743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) ↔ (7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))))
150		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
151	149, 150	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) ↔ ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
152	151	rspcv 3278	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
153	152	com23 84	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
154	153	3impib 1254	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
155	146, 154	sylcom 30	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ (ℤ_≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
156	1, 155	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 ∖ cdif 3537 {csn 4125 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 4c4 10949 7c7 10952 8c8 10953 9c9 10954 10c10 10955 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 cdc 11369 ℤ_≥cuz 11563 ..^cfzo 12334 ↑cexp 12722 ℙcprime 15223 RePartciccp 39951 Even ceven 40075 Odd codd 40076 GoldbachEven cgbe 40167 GoldbachOddALTV cgboa 40169

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-bgbltosilvaOLD 40233 ax-hgprmladderOLD 40235

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-10OLD 10964 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822 df-prm 15224 df-iccp 39952 df-even 40077 df-odd 40078 df-gbe 40170 df-gboa 40172

This theorem is referenced by: tgoldbachltOLD 40237

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