MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nn Structured version   Unicode version

Theorem 1nn 10543
Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
1nn  |-  1  e.  NN

Proof of Theorem 1nn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9587 . . . 4  |-  1  e.  _V
2 fr0g 7098 . . . 4  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
4 frfnom 7097 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 6697 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 6016 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
83, 7eqeltrri 2552 . 2  |-  1  e.  ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
9 df-nn 10533 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
10 df-ima 5012 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
119, 10eqtri 2496 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
128, 11eleqtrri 2554 1  |-  1  e.  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072   1c1 9489    + caddc 9491   NNcn 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-1cn 9546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533
This theorem is referenced by:  dfnn2  10545  dfnn3  10546  nnind  10550  nn1suc  10553  2nn  10689  nnunb  10787  1nn0  10807  nn0p1nn  10831  elz2  10877  1z  10890  neg1z  10895  nneo  10940  elnn1uz2  11154  zq  11184  rpnnen1lem4  11207  rpnnen1lem5  11208  ser1const  12127  exp1  12136  nnexpcl  12143  expnbnd  12259  fac1  12321  faccl  12327  faclbnd3  12334  faclbnd4lem1  12335  faclbnd4lem2  12336  faclbnd4lem3  12337  faclbnd4lem4  12338  lsw0  12547  ccat2s1p1  12591  cats1un  12660  revs1  12698  cats1fvn  12782  isercolllem2  13447  isercolllem3  13448  isercoll  13449  sumsn  13522  climcndslem1  13620  climcndslem2  13621  eftlub  13701  eirrlem  13794  xpnnenOLD  13800  rpnnen2lem5  13809  rpnnen2lem8  13812  rpnnen2  13816  dvdsle  13886  n2dvds1  13890  ndvdsp1  13922  gcd1  14025  1nprm  14077  1idssfct  14078  qden1elz  14145  phi1  14158  phiprm  14162  pcpre1  14221  pczpre  14226  pcmptcl  14265  pcmpt  14266  infpnlem2  14284  prmreclem1  14289  prmreclem6  14294  mul4sq  14327  vdwmc2  14352  vdwlem8  14361  vdwlem13  14366  vdwnnlem3  14370  5prm  14448  7prm  14450  11prm  14454  13prm  14455  17prm  14456  19prm  14457  37prm  14460  43prm  14461  83prm  14462  139prm  14463  163prm  14464  317prm  14465  631prm  14466  1259lem4  14470  1259lem5  14471  1259prm  14472  2503lem3  14475  2503prm  14476  4001lem1  14477  4001lem2  14478  4001lem3  14479  4001lem4  14480  4001prm  14481  baseid  14532  basendx  14536  2strstr  14587  rngstr  14598  lmodstr  14615  topgrpstr  14640  otpsstr  14647  ocndx  14652  ocid  14653  ressds  14665  resshom  14670  ressco  14671  oppcbas  14970  rescbas  15055  rescabs  15059  catstr  15180  ipostr  15636  mulg1  15949  mulg2  15951  oppgbas  16181  od1  16377  gex1  16407  efgsval2  16547  efgsp1  16551  torsubg  16653  pgpfaclem1  16922  mgpbas  16937  mgpds  16941  opprbas  17062  srabase  17607  srads  17615  opsrbas  17914  zlmbas  18322  znbas2  18345  thlbas  18494  thlle  18495  m2detleiblem1  18893  pmatcollpw3fi1lem2  19055  hauspwdom  19768  ressunif  20500  tuslem  20505  imasdsf1olem  20611  setsmsds  20714  tmslem  20720  tnglem  20889  tngbas  20890  tngds  20897  bcthlem4  21501  bcth3  21505  ovolmge0  21623  ovollb2  21635  ovolctb  21636  ovolunlem1a  21642  ovolunlem1  21643  ovoliunlem1  21648  ovoliun  21651  ovoliun2  21652  ovolicc1  21662  voliunlem1  21695  volsup  21701  ioombl1lem2  21704  ioombl1lem4  21706  uniioombllem1  21725  uniioombllem2  21727  uniioombllem6  21732  itg1climres  21856  itg2seq  21884  itg2monolem1  21892  itg2monolem2  21893  itg2monolem3  21894  itg2mono  21895  itg2i1fseq2  21898  itg2cnlem1  21903  aalioulem5  22466  aaliou2b  22471  aaliou3lem4  22476  aaliou3lem7  22479  dcubic1lem  22902  dcubic2  22903  mcubic  22906  log2ub  23008  emcllem6  23058  emcllem7  23059  ftalem7  23080  efnnfsumcl  23104  vmaprm  23119  efvmacl  23122  efchtdvds  23161  vma1  23168  prmorcht  23180  sqff1o  23184  pclogsum  23218  perfectlem1  23232  perfectlem2  23233  bpos1  23286  bposlem5  23291  lgsdir  23333  1lgs  23340  lgs1  23341  lgsquad2lem2  23362  dchrmusumlema  23406  dchrisum0lema  23427  trkgstr  23568  ttgbas  23856  ttgplusg  23857  ttgvsca  23859  eengstr  23959  usgraexmpl  24077  konigsberg  24663  gx1  24940  ipval2  25293  opsqrlem2  26736  ssnnssfz  27265  nnindf  27278  nn0min  27279  isarchi3  27393  resvbas  27485  rge0scvg  27567  zlmds  27581  qqh0  27601  qqh1  27602  esumfzf  27715  esumfsup  27716  esumpcvgval  27724  voliune  27841  eulerpartgbij  27951  eulerpartlemgs2  27959  fib2  27981  rrvsum  28033  ballotlem4  28077  ballotlemi1  28081  ballotlemii  28082  ballotlemic  28085  ballotlem1c  28086  signswbase  28151  signswplusg  28152  lgam1  28246  gam1  28247  fprodnncl  28664  prodsn  28669  nnrisefaccl  28718  faclimlem1  28745  ovoliunnfl  29633  voliunnfl  29635  volsupnfl  29636  nn0prpwlem  29717  nn0prpw  29718  incsequz  29844  bfplem1  29921  rrncmslem  29931  bezoutr1  30528  jm2.23  30542  rmydioph  30560  rmxdioph  30562  expdiophlem2  30568  expdioph  30569  prmunb2  30794  sumsnd  30979  sumnnodd  31172  wallispilem4  31368  wallispi2lem1  31371  wallispi2lem2  31372  stirlinglem8  31381  stirlinglem11  31384  stirlinglem12  31385  stirlinglem13  31386  fourierdlem31  31438  uhgrepe  31847  hlhilsbase  36739
  Copyright terms: Public domain W3C validator