MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nn Unicode version

Theorem 1nn 9967
Description: Peano postulate: 1 is a natural number. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
1nn  |-  1  e.  NN

Proof of Theorem 1nn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9042 . . . 4  |-  1  e.  _V
2 fr0g 6652 . . . 4  |-  ( 1  e.  _V  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
4 frfnom 6651 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 4823 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 5826 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 654 . . 3  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
83, 7eqeltrri 2475 . 2  |-  1  e.  ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
9 df-nn 9957 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
10 df-ima 4850 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
119, 10eqtri 2424 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
128, 11eleqtrri 2477 1  |-  1  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588    e. cmpt 4226   omcom 4804   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  dfnn2  9969  dfnn3  9970  nnind  9974  nn1suc  9977  2nn  10089  nnunb  10173  1nn0  10193  nn0p1nn  10215  elz2  10254  1z  10267  nneo  10309  elnn1uz2  10508  zq  10536  rpnnen1lem4  10559  rpnnen1lem5  10560  ser1const  11334  exp1  11342  nnexpcl  11349  expnbnd  11463  fac1  11525  faccl  11531  faclbnd3  11538  faclbnd4lem1  11539  faclbnd4lem2  11540  faclbnd4lem3  11541  faclbnd4lem4  11542  cats1un  11745  revs1  11752  cats1fvn  11777  isercolllem2  12414  isercolllem3  12415  isercoll  12416  sumsn  12489  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  eftlub  12665  eirrlem  12758  xpnnenOLD  12764  rpnnen2lem5  12773  rpnnen2lem8  12776  rpnnen2  12780  nthruz  12806  dvdsle  12850  ndvdsp1  12884  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsinv1lem  12908  gcd1  12987  1nprm  13039  1idssfct  13040  qden1elz  13104  phi1  13117  phiprm  13121  pcpre1  13171  pczpre  13176  pcmptcl  13215  pcmpt  13216  infpnlem2  13234  prmreclem1  13239  prmreclem6  13244  mul4sq  13277  vdwmc2  13302  vdwlem8  13311  vdwlem13  13316  vdwnnlem3  13320  5prm  13386  7prm  13388  11prm  13392  13prm  13393  17prm  13394  19prm  13395  37prm  13398  43prm  13399  83prm  13400  139prm  13401  163prm  13402  317prm  13403  631prm  13404  1259lem4  13408  1259lem5  13409  1259prm  13410  2503lem3  13413  2503prm  13414  4001lem1  13415  4001lem2  13416  4001lem3  13417  4001lem4  13418  4001prm  13419  baseid  13466  basendx  13469  2strstr  13520  rngstr  13531  lmodstr  13548  topgrpstr  13571  otpsstr  13578  ocndx  13583  ocid  13584  ressds  13596  resshom  13601  ressco  13602  oppcbas  13899  rescbas  13984  rescabs  13988  catstr  14109  ipostr  14534  mulg1  14852  mulg2  14854  oppgbas  15102  od1  15150  gex1  15180  efgsval2  15320  efgsp1  15324  torsubg  15424  pgpfaclem1  15594  mgpbas  15609  mgpds  15613  opprbas  15689  srabase  16205  srads  16212  opsrbas  16494  zlmbas  16754  znbas2  16775  thlbas  16878  thlle  16879  hauspwdom  17517  ressunif  18245  tuslem  18250  imasdsf1olem  18356  setsmsds  18459  tmslem  18465  tnglem  18634  tngbas  18635  tngds  18642  bcthlem4  19233  bcth3  19237  ovolmge0  19326  ovollb2  19338  ovolctb  19339  ovolunlem1a  19345  ovolunlem1  19346  ovoliunlem1  19351  ovoliun  19354  ovoliun2  19355  ovolicc1  19365  voliunlem1  19397  volsup  19403  ioombl1lem2  19406  ioombl1lem4  19408  uniioombllem1  19426  uniioombllem2  19428  uniioombllem6  19433  itg1climres  19559  itg2seq  19587  itg2monolem1  19595  itg2monolem2  19596  itg2monolem3  19597  itg2mono  19598  itg2i1fseq2  19601  itg2cnlem1  19606  aalioulem5  20206  aaliou2b  20211  aaliou3lem4  20216  aaliou3lem7  20219  dcubic1lem  20636  dcubic2  20637  mcubic  20640  log2ub  20742  emcllem6  20792  emcllem7  20793  ftalem7  20814  efnnfsumcl  20838  vmaprm  20853  efvmacl  20856  efchtdvds  20895  vma1  20902  prmorcht  20914  sqff1o  20918  pclogsum  20952  perfectlem1  20966  perfectlem2  20967  bpos1  21020  bposlem5  21025  lgsdir  21067  1lgs  21074  lgs1  21075  lgsquad2lem2  21096  dchrmusumlema  21140  dchrisum0lema  21161  usgraexmpl  21373  konigsberg  21662  gx1  21803  ipval2  22156  opsqrlem2  23597  ssnnssfz  24101  rge0scvg  24288  zlmds  24301  qqh0  24321  qqh1  24322  esumfzf  24412  esumfsup  24413  esumpcvgval  24421  voliune  24538  rrvsum  24665  ballotlem4  24709  ballotlemi1  24713  ballotlemii  24714  ballotlemic  24717  ballotlem1c  24718  lgam1  24801  gam1  24802  fprodnncl  25234  prodsn  25239  nnrisefaccl  25287  faclimlem1  25310  ovoliunnfl  26147  voliunnfl  26149  volsupnfl  26150  nn0prpwlem  26215  nn0prpw  26216  incsequz  26342  bfplem1  26421  rrncmslem  26431  bezoutr1  26941  jm2.23  26957  rmydioph  26975  rmxdioph  26977  expdiophlem2  26983  expdioph  26984  sumsnd  27564  wallispilem4  27684  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  stirlinglem8  27697  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701  stirlinglem13  27702  hlhilsbase  32425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-1cn 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator