Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirrlem 14771
 Description: Lemma for eirr 14772. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
Assertion
Ref Expression
eirrlem ¬ 𝜑
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 14650 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
32oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
4 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
5 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
76sumeq2i 14277 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
81, 7eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
9 nn0uz 11598 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
10 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
11 eirr.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1211peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1312nnnn0d 11228 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
14 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
15 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
16 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
1817oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
1918mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
204, 19eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2120eftval 14646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
23 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25 eftcl 14643 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2624, 25sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2722, 26eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2820efcllem 14647 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
309, 10, 13, 14, 27, 29isumsplit 14411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
318, 30syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3211nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
33 pncan 10166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3432, 23, 33sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3534oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3635sumeq1d 14279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
3736oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3831, 37eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3938oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
40 fzfid 12634 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
41 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4241, 27sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4340, 42fsumcl 14311 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
446adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45 faccl 12932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpreccld 11758 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
4944, 48eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
509, 10, 13, 14, 49, 29isumrpcl 14414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 11748 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5251recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5343, 52pncan2d 10273 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5439, 53eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5554oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
5611nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
57 faccl 12932 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5958nncnd 10913 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
60 ere 14658 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
6160recni 9931 . . . . . 6 e ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6359, 62, 43subdid 10365 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6455, 63eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
65 eirr.4 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
6665oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
67 eirr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6867zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6911nnne0d 10942 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ≠ 0)
7059, 68, 32, 69div12d 10716 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7166, 70eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7211nnred 10912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7372leidd 10473 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑄)
74 facdiv 12936 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7556, 11, 73, 74syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7675nnzd 11357 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
7767, 76zmulcld 11364 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
7871, 77eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
7940, 59, 42fsummulc2 14358 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8041adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8180, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8281oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8359adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8441, 46sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8584nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
86 facne0 12935 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
8883, 85, 87divrecd 10683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8982, 88eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
90 permnn 12975 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9190adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9289, 91eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9392nnzd 11357 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9440, 93fsumzcl 14313 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9579, 94eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9678, 95zsubcld 11363 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9764, 96eqeltrd 2688 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
98 0zd 11266 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9958nnrpd 11746 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
10099, 50rpmulcld 11764 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
101100rpgt0d 11751 . . 3 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10212peano2nnd 10914 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
103102nnred 10912 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
104 faccl 12932 . . . . . . . . 9 ((𝑄 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
10513, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
106105, 12nnmulcld 10945 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
107103, 106nndivred 10946 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10858nnrecred 10943 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
109 abs1 13885 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
110109oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
111110oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
112111mpteq2i 4669 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11320, 112eqtr4i 2635 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
114 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
115 1le1 10534 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
116109, 115eqbrtri 4604 . . . . . . . . 9 (abs‘1) ≤ 1
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11820, 113, 114, 12, 24, 117eftlub 14678 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11950rprege0d 11755 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
120 absid 13884 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
121119, 120syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
122109oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12312nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
124 1exp 12751 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
126122, 125syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
127126oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
128107recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
129128mulid2d 9937 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
130127, 129eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
131118, 121, 1303brtr3d 4614 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
13212nnred 10912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
133132, 132readdcld 9948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
134132, 132remulcld 9949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
135 1red 9934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13611nnge1d 10940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
137 1nn 10908 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
138 nnleltp1 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
139137, 11, 138sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
140136, 139mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
141135, 132, 132, 140ltadd2dd 10075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
14212nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1431422timesd 11152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
144 df-2 10956 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
145135, 72, 135, 136leadd1dd 10520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
146144, 145syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
147 2re 10967 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14912nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
150 lemul1 10754 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
151148, 132, 132, 149, 150syl112anc 1322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
152146, 151mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
153143, 152eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
154103, 133, 134, 141, 153ltletrd 10076 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
155 facp1 12927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15656, 155syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
157156oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
158105nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15958nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
160158, 59, 159divrecd 10683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
161142, 59, 159divcan3d 10685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
162157, 160, 1613eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163162oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
164108recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
165158, 164, 142mul32d 10125 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
166163, 165eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
167154, 166breqtrd 4609 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
168106nnred 10912 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
169106nngt0d 10941 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
170 ltdivmul 10777 . . . . . . . 8 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
171103, 108, 168, 169, 170syl112anc 1322 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
172167, 171mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17351, 107, 108, 131, 172lelttrd 10074 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17451, 135, 99ltmuldiv2d 11796 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
175173, 174mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
176 0p1e1 11009 . . . 4 (0 + 1) = 1
177175, 176syl6breqr 4625 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
178 btwnnz 11329 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
17998, 101, 177, 178syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
18097, 179pm2.65i 184 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  !cfa 12922  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  eceu 14632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638 This theorem is referenced by:  eirr  14772
 Copyright terms: Public domain W3C validator