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Theorem eirrlem 13794
Description: Lemma for eirr 13795. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
eirr.2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
eirr.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
eirr.4  |-  ( ph  ->  _e  =  ( P  /  Q ) )
Assertion
Ref Expression
eirrlem  |-  -.  ph
Distinct variable group:    Q, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    P( n)    F( n)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 13674 . . . . . . . . . 10  |-  _e  =  sum_ k  e.  NN0  (
1  /  ( ! `
 k ) )
2 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
32oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
4 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
5 ovex 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
63, 4, 5fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
76sumeq2i 13480 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )  =  sum_ k  e.  NN0  ( 1  /  ( ! `  k ) )
81, 7eqtr4i 2499 . . . . . . . . 9  |-  _e  =  sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )
9 nn0uz 11112 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) )
11 eirr.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
1211peano2nnd 10549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  NN )
1312nnnn0d 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
15 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
16 1exp 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
1817oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
1918mpteq2ia 4529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
204, 19eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
2120eftval 13670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
23 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
25 eftcl 13667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
2722, 26eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
2820efcllem 13671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
309, 10, 13, 14, 27, 29isumsplit 13611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  ( F `  k )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) ) )
318, 30syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  _e  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
3211nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
33 pncan 9822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( Q  + 
1 )  -  1 )  =  Q )
3432, 23, 33sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  -  1 )  =  Q )
3534oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( Q  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... Q ) )
3635sumeq1d 13482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) )
3736oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( Q  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) ) )
3831, 37eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
3938oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( _e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) )
40 fzfid 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... Q
)  e.  Fin )
41 elfznn0 11766 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... Q )  ->  k  e.  NN0 )
4241, 27sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4340, 42fsumcl 13514 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
)  e.  CC )
446adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  /  ( ! `
 k ) ) )
45 faccl 12327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4746nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
4847rpreccld 11262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e.  RR+ )
4944, 48eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
509, 10, 13, 14, 49, 29isumrpcl 13614 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR+ )
5150rpred 11252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
5251recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  CC )
5343, 52pncan2d 9928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )
5439, 53eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )
5554oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  (
_e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
5611nnnn0d 10848 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
57 faccl 12327 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  NN0  ->  ( ! `
 Q )  e.  NN )
5856, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  NN )
5958nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  CC )
60 ere 13682 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
6160recni 9604 . . . . . 6  |-  _e  e.  CC
6261a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  _e  e.  CC )
6359, 62, 43subdid 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  (
_e  -  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  -  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) ) )
6455, 63eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  Q )  x.  _e )  -  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) ) ) )
65 eirr.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  =  ( P  /  Q ) )
6665oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q
) ) )
67 eirr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
6867zcnd 10963 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6911nnne0d 10576 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  =/=  0 )
7059, 68, 32, 69div12d 10352 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  ( P  /  Q ) )  =  ( P  x.  ( ( ! `  Q )  /  Q
) ) )
7166, 70eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  =  ( P  x.  ( ( ! `  Q )  /  Q
) ) )
7211nnred 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
7372leidd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  <_  Q )
74 facdiv 12329 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  NN0  /\  Q  e.  NN  /\  Q  <_  Q )  ->  (
( ! `  Q
)  /  Q )  e.  NN )
7556, 11, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  /  Q
)  e.  NN )
7675nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  /  Q
)  e.  ZZ )
7767, 76zmulcld 10968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( ! `  Q
)  /  Q ) )  e.  ZZ )
7871, 77eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  _e )  e.  ZZ )
7940, 59, 42fsummulc2 13558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( ( ! `
 Q )  x.  ( F `  k
) ) )
8041adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  k  e.  NN0 )
8180, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
8281oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x.  ( 1  /  ( ! `  k )
) ) )
8359adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  Q )  e.  CC )
8441, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
8584nncnd 10548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
86 facne0 12328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  =/=  0 )
8780, 86syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
8883, 85, 87divrecd 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  x.  ( 1  /  ( ! `  k )
) ) )
8982, 88eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( ! `
 Q )  / 
( ! `  k
) ) )
90 permnn 12368 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... Q )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  NN )
9190adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  NN )
9289, 91eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  NN )
9392nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... Q
) )  ->  (
( ! `  Q
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  ZZ )
9440, 93fsumzcl 13516 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( ( ! `  Q )  x.  ( F `  k )
)  e.  ZZ )
9579, 94eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
9678, 95zsubcld 10967 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  _e )  -  (
( ! `  Q
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... Q
) ( F `  k ) ) )  e.  ZZ )
9764, 96eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  e.  ZZ )
98 0zd 10872 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
9958nnrpd 11251 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  e.  RR+ )
10099, 50rpmulcld 11268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  e.  RR+ )
101100rpgt0d 11255 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
10212peano2nnd 10549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  NN )
103102nnred 10547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  RR )
104 faccl 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  e.  NN )
10513, 104syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  e.  NN )
106105, 12nnmulcld 10579 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  NN )
107103, 106nndivred 10580 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  e.  RR )
10858nnrecred 10577 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  RR )
109 abs1 13089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  1 )  =  1
110109oveq1i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  1 ) ^ n )  =  ( 1 ^ n
)
111110oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
)
112111mpteq2i 4530 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
11320, 112eqtr4i 2499 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  1 ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
114 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  1
) ^ ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  ( Q  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( Q  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  / 
( ! `  ( Q  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  (
( Q  +  1 )  +  1 ) ) ^ n ) ) )
115 1le1 10173 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
116109, 115eqbrtri 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  <_ 
1
117116a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  1
)  <_  1 )
11820, 113, 114, 12, 24, 117eftlub 13701 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  x.  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) ) )
11950rprege0d 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) ) )
120 absid 13088 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1 ) ) ( F `  k
) )
121119, 120syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )
122109oveq1i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  1 ) ^ ( Q  + 
1 ) )  =  ( 1 ^ ( Q  +  1 ) )
12312nnzd 10961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  ZZ )
124 1exp 12159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
126122, 125syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  1
) ^ ( Q  +  1 ) )  =  1 )
127126oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  1 ) ^
( Q  +  1 ) )  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) ) )
128107recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  e.  CC )
129128mulid2d 9610 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
130127, 129eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  1 ) ^
( Q  +  1 ) )  x.  (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
131118, 121, 1303brtr3d 4476 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
13212nnred 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  RR )
133132, 132readdcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
134132, 132remulcld 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
135 1red 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13611nnge1d 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  Q )
137 1nn 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
138 nnleltp1 10913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 1  <_  Q  <->  1  <  ( Q  + 
1 ) ) )
139137, 11, 138sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  Q  <->  1  <  ( Q  + 
1 ) ) )
140136, 139mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( Q  +  1 ) )
141135, 132, 132, 140ltadd2dd 9736 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( Q  +  1 )  +  ( Q  + 
1 ) ) )
14212nncnd 10548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  e.  CC )
1431422timesd 10777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( Q  +  1 )  +  ( Q  + 
1 ) ) )
144 df-2 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
145135, 72, 135, 136leadd1dd 10162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  <_  ( Q  +  1 ) )
146144, 145syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  ( Q  +  1 ) )
147 2re 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
14912nngt0d 10575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( Q  +  1 ) )
150 lemul1 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Q  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( Q  + 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( Q  +  1 ) ) )  ->  ( 2  <_  ( Q  + 
1 )  <->  ( 2  x.  ( Q  + 
1 ) )  <_ 
( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) ) ) )
151148, 132, 132, 149, 150syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  ( Q  +  1 )  <-> 
( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )
152146, 151mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
153143, 152eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  ( Q  +  1 ) )  <_  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
154103, 133, 134, 141, 153ltletrd 9737 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( Q  +  1 )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
155 facp1 12322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( Q  +  1 ) ) )
15656, 155syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ! `  Q )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
157156oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( ( ( ! `  Q
)  x.  ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  Q ) ) )
158105nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( Q  +  1 ) )  e.  CC )
15958nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ! `  Q
)  =/=  0 )
160158, 59, 159divrecd 10319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
161142, 59, 159divcan3d 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x.  ( Q  +  1 ) )  /  ( ! `  Q )
)  =  ( Q  +  1 ) )
162157, 160, 1613eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  +  1 )  =  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
163162oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  /  ( ! `  Q ) ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
164108recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  CC )
165158, 164, 142mul32d 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( 1  /  ( ! `  Q )
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
166163, 165eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  x.  ( Q  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
167154, 166breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) )
168106nnred 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR )
169106nngt0d 10575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )
170 ltdivmul 10413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Q  + 
1 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  ( ! `  Q )
)  e.  RR  /\  ( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  + 
1 ) ) )  <  ( 1  / 
( ! `  Q
) )  <->  ( ( Q  +  1 )  +  1 )  < 
( ( ( ! `
 ( Q  + 
1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  (
1  /  ( ! `
 Q ) ) ) ) )
171103, 108, 168, 169, 170syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( Q  +  1
) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  <  (
1  /  ( ! `
 Q ) )  <-> 
( ( Q  + 
1 )  +  1 )  <  ( ( ( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) )  x.  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) ) ) )
172167, 171mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( Q  +  1 ) )  x.  ( Q  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  ( ! `  Q ) ) )
17351, 107, 108, 131, 172lelttrd 9735 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k )  <  ( 1  / 
( ! `  Q
) ) )
17451, 135, 99ltmuldiv2d 11296 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  <  1  <->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k )  < 
( 1  /  ( ! `  Q )
) ) )
175173, 174mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <  1 )
176 0p1e1 10643 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
177175, 176syl6breqr 4487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  1
) ) ( F `
 k ) )  <  ( 0  +  1 ) )
178 btwnnz 10933 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  /\  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  <  ( 0  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ! `  Q )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
17998, 101, 177, 178syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ! `
 Q )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( Q  + 
1 ) ) ( F `  k ) )  e.  ZZ )
18097, 179pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668    seqcseq 12071   ^cexp 12130   !cfa 12317   abscabs 13026    ~~> cli 13266   sum_csu 13467   _eceu 13656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662
This theorem is referenced by:  eirr  13795
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