Theorem eirrlem 14333

Description: Lemma for eirr 14334. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )
eirr.4	|- ( ph -> _e = ( P / Q ) )

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	|- -. ph

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 14212	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
3	2	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
4		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
5		ovex 6336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ! ` k ) ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
7	6	sumeq2i 13842	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
8	1, 7	eqtr4i 2496	. . . . . . . . 9 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
9		nn0uz 11217	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
10		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
11		eirr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. NN )
12	11	peano2nnd 10648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
13	12	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
14		eqidd 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
15		nn0z 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
16		1exp 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
18	17	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
19	18	mpteq2ia 4478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
20	4, 19	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
21	20	eftval 14208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
22	21	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
23		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
25		eftcl 14205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
26	24, 25	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
27	22, 26	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
28	20	efcllem 14209	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
30	9, 10, 13, 14, 27, 29	isumsplit 13975	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
31	8, 30	syl5eq 2517	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
32	11	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. CC )
33		pncan 9901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
34	32, 23, 33	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
35	34	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
36	35	sumeq1d 13844	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
37	36	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
38	31, 37	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
39	38	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
41		elfznn0 11913	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
42	41, 27	sylan2 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
43	40, 42	fsumcl 13876	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
44	6	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
45		faccl 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
46	45	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
47	46	nnrpd 11362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
48	47	rpreccld 11374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
49	44, 48	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
50	9, 10, 13, 14, 49, 29	isumrpcl 13978	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
51	50	rpred 11364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
52	51	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
53	43, 52	pncan2d 10007	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
54	39, 53	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
55	54	oveq2d 6324	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
56	11	nnnn0d 10949	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN0 )
57		faccl 12507	. . . . . . 7 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` Q ) e. NN )
58	56, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
59	58	nncnd 10647	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
60		ere 14220	. . . . . . 7 |- _e e. RR
61	60	recni 9673	. . . . . 6 |- _e e. CC
62	61	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> _e e. CC )
63	59, 62, 43	subdid 10095	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
64	55, 63	eqtr3d 2507	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
65		eirr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( P / Q ) )
66	65	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
67		eirr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
68	67	zcnd 11064	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
69	11	nnne0d 10676	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q =/= 0 )
70	59, 68, 32, 69	div12d 10441	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
71	66, 70	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
72	11	nnred 10646	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. RR )
73	72	leidd 10201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q <_ Q )
74		facdiv 12510	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
75	56, 11, 73, 74	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
76	75	nnzd 11062	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
77	67, 76	zmulcld 11069	. . . . 5 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
78	71, 77	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. ZZ )
79	40, 59, 42	fsummulc2 13922	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
80	41	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
81	80, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
82	81	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
83	59	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
84	41, 46	sylan2 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
85	84	nncnd 10647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
86		facne0 12509	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) =/= 0 )
87	80, 86	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
88	83, 85, 87	divrecd 10408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
89	82, 88	eqtr4d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
90		permnn 12549	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
91	90	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
92	89, 91	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
93	92	nnzd 11062	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
94	40, 93	fsumzcl 13878	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
95	79, 94	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	78, 95	zsubcld 11068	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
97	64, 96	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98		0zd 10973	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
99	58	nnrpd 11362	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
100	99, 50	rpmulcld 11380	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
101	100	rpgt0d 11367	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
102	12	peano2nnd 10648	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
103	102	nnred 10646	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
104		faccl 12507	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
105	13, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
106	105, 12	nnmulcld 10679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
107	103, 106	nndivred 10680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
108	58	nnrecred 10677	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
109		abs1 13437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 1 ) = 1
110	109	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
111	110	oveq1i 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
112	111	mpteq2i 4479	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
113	20, 112	eqtr4i 2496	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
114		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
115		1le1 10262	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
116	109, 115	eqbrtri 4415	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
118	20, 113, 114, 12, 24, 117	eftlub 14240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
119	50	rprege0d 11371	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
120		absid 13436	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
122	109	oveq1i 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
123	12	nnzd 11062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
124		1exp 12339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
126	122, 125	syl5eq 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
127	126	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
128	107	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
129	128	mulid2d 9679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
130	127, 129	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
131	118, 121, 130	3brtr3d 4425	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
132	12	nnred 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
133	132, 132	readdcld 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
134	132, 132	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
135		1red 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
136	11	nnge1d 10674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ Q )
137		1nn 10642	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
138		nnleltp1 11015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
139	137, 11, 138	sylancr 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
141	135, 132, 132, 140	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
142	12	nncnd 10647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
143	142	2timesd 10878	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
144		df-2 10690	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
145	135, 72, 135, 136	leadd1dd 10248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
146	144, 145	syl5eqbr 4429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
147		2re 10701	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
149	12	nngt0d 10675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
150		lemul1 10479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
151	148, 132, 132, 149, 150	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
152	146, 151	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	143, 152	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	103, 133, 134, 141, 153	ltletrd 9812	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
155		facp1 12502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
156	56, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
157	156	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
158	105	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
159	58	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` Q ) =/= 0 )
160	158, 59, 159	divrecd 10408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
161	142, 59, 159	divcan3d 10410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
162	157, 160, 161	3eqtr3rd 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	162	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
164	108	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
165	158, 164, 142	mul32d 9861	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
166	163, 165	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
167	154, 166	breqtrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
168	106	nnred 10646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
169	106	nngt0d 10675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
170		ltdivmul 10502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
171	103, 108, 168, 169, 170	syl112anc 1296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
172	167, 171	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
173	51, 107, 108, 131, 172	lelttrd 9810	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
174	51, 135, 99	ltmuldiv2d 11409	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
175	173, 174	mpbird 240	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
176		0p1e1 10743	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
177	175, 176	syl6breqr 4436	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
178		btwnnz 11035	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) ) -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
179	98, 101, 177, 178	syl3anc 1292	. 2 |- ( ph -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
180	97, 179	pm2.65i 178	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   seqcseq 12251   ^cexp 12310   !cfa 12497   abscabs 13374   ~~> cli 13625   sum_csu 13829   _eceu 14192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199

This theorem is referenced by:  eirr  14334