Theorem eirrlem 14249

Description: Lemma for eirr 14250. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )
eirr.4	|- ( ph -> _e = ( P / Q ) )

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	|- -. ph

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 14128	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
3	2	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
4		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
5		ovex 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ! ` k ) ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
7	6	sumeq2i 13758	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
8	1, 7	eqtr4i 2475	. . . . . . . . 9 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
9		nn0uz 11190	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
10		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
11		eirr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. NN )
12	11	peano2nnd 10623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
13	12	nnnn0d 10922	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
14		eqidd 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
15		nn0z 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
16		1exp 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
18	17	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
19	18	mpteq2ia 4484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
20	4, 19	eqtr4i 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
21	20	eftval 14124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
22	21	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
23		ax-1cn 9594	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
25		eftcl 14121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
26	24, 25	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
27	22, 26	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
28	20	efcllem 14125	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
30	9, 10, 13, 14, 27, 29	isumsplit 13891	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
31	8, 30	syl5eq 2496	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
32	11	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. CC )
33		pncan 9878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
34	32, 23, 33	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
35	34	oveq2d 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
36	35	sumeq1d 13760	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
37	36	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
38	31, 37	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
39	38	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
41		elfznn0 11884	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
42	41, 27	sylan2 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
43	40, 42	fsumcl 13792	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
44	6	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
45		faccl 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
46	45	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
47	46	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
48	47	rpreccld 11348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
49	44, 48	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
50	9, 10, 13, 14, 49, 29	isumrpcl 13894	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
51	50	rpred 11338	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
52	51	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
53	43, 52	pncan2d 9985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
54	39, 53	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
55	54	oveq2d 6304	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
56	11	nnnn0d 10922	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN0 )
57		faccl 12466	. . . . . . 7 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` Q ) e. NN )
58	56, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
59	58	nncnd 10622	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
60		ere 14136	. . . . . . 7 |- _e e. RR
61	60	recni 9652	. . . . . 6 |- _e e. CC
62	61	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> _e e. CC )
63	59, 62, 43	subdid 10071	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
64	55, 63	eqtr3d 2486	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
65		eirr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( P / Q ) )
66	65	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
67		eirr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
68	67	zcnd 11038	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
69	11	nnne0d 10651	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q =/= 0 )
70	59, 68, 32, 69	div12d 10416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
71	66, 70	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
72	11	nnred 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. RR )
73	72	leidd 10177	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q <_ Q )
74		facdiv 12469	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
75	56, 11, 73, 74	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
76	75	nnzd 11036	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
77	67, 76	zmulcld 11043	. . . . 5 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
78	71, 77	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. ZZ )
79	40, 59, 42	fsummulc2 13838	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
80	41	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
81	80, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
82	81	oveq2d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
83	59	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
84	41, 46	sylan2 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
85	84	nncnd 10622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
86		facne0 12468	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) =/= 0 )
87	80, 86	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
88	83, 85, 87	divrecd 10383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
89	82, 88	eqtr4d 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
90		permnn 12508	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
91	90	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
92	89, 91	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
93	92	nnzd 11036	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
94	40, 93	fsumzcl 13794	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
95	79, 94	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	78, 95	zsubcld 11042	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
97	64, 96	eqeltrd 2528	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98		0zd 10946	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
99	58	nnrpd 11336	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
100	99, 50	rpmulcld 11354	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
101	100	rpgt0d 11341	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
102	12	peano2nnd 10623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
103	102	nnred 10621	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
104		faccl 12466	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
105	13, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
106	105, 12	nnmulcld 10654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
107	103, 106	nndivred 10655	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
108	58	nnrecred 10652	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
109		abs1 13353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 1 ) = 1
110	109	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
111	110	oveq1i 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
112	111	mpteq2i 4485	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
113	20, 112	eqtr4i 2475	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
114		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
115		1le1 10237	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
116	109, 115	eqbrtri 4421	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
118	20, 113, 114, 12, 24, 117	eftlub 14156	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
119	50	rprege0d 11345	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
120		absid 13352	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
122	109	oveq1i 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
123	12	nnzd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
124		1exp 12298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
126	122, 125	syl5eq 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
127	126	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
128	107	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
129	128	mulid2d 9658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
130	127, 129	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
131	118, 121, 130	3brtr3d 4431	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
132	12	nnred 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
133	132, 132	readdcld 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
134	132, 132	remulcld 9668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
135		1red 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
136	11	nnge1d 10649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ Q )
137		1nn 10617	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
138		nnleltp1 10988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
139	137, 11, 138	sylancr 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
141	135, 132, 132, 140	ltadd2dd 9791	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
142	12	nncnd 10622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
143	142	2timesd 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
144		df-2 10665	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
145	135, 72, 135, 136	leadd1dd 10224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
146	144, 145	syl5eqbr 4435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
147		2re 10676	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
149	12	nngt0d 10650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
150		lemul1 10454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
151	148, 132, 132, 149, 150	syl112anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
152	146, 151	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	143, 152	eqbrtrrd 4424	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	103, 133, 134, 141, 153	ltletrd 9792	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
155		facp1 12461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
156	56, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
157	156	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
158	105	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
159	58	nnne0d 10651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` Q ) =/= 0 )
160	158, 59, 159	divrecd 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
161	142, 59, 159	divcan3d 10385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
162	157, 160, 161	3eqtr3rd 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	162	oveq1d 6303	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
164	108	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
165	158, 164, 142	mul32d 9840	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
166	163, 165	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
167	154, 166	breqtrd 4426	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
168	106	nnred 10621	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
169	106	nngt0d 10650	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
170		ltdivmul 10477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
171	103, 108, 168, 169, 170	syl112anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
172	167, 171	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
173	51, 107, 108, 131, 172	lelttrd 9790	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
174	51, 135, 99	ltmuldiv2d 11383	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
175	173, 174	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
176		0p1e1 10718	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
177	175, 176	syl6breqr 4442	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
178		btwnnz 11009	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) ) -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
179	98, 101, 177, 178	syl3anc 1267	. 2 |- ( ph -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
180	97, 179	pm2.65i 177	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   ...cfz 11781   seqcseq 12210   ^cexp 12269   !cfa 12456   abscabs 13290   ~~> cli 13541   sum_csu 13745   _eceu 14108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115

This theorem is referenced by:  eirr  14250