Theorem eirrlem 13794

Description: Lemma for eirr 13795. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )
eirr.4	|- ( ph -> _e = ( P / Q ) )

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	|- -. ph

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 13674	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
3	2	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
4		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
5		ovex 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ! ` k ) ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
7	6	sumeq2i 13480	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
8	1, 7	eqtr4i 2499	. . . . . . . . 9 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
9		nn0uz 11112	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
10		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
11		eirr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. NN )
12	11	peano2nnd 10549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
13	12	nnnn0d 10848	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
14		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
15		nn0z 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
16		1exp 12159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
18	17	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
19	18	mpteq2ia 4529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
20	4, 19	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
21	20	eftval 13670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
23		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
25		eftcl 13667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
26	24, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
27	22, 26	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
28	20	efcllem 13671	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
30	9, 10, 13, 14, 27, 29	isumsplit 13611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
31	8, 30	syl5eq 2520	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
32	11	nncnd 10548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. CC )
33		pncan 9822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
34	32, 23, 33	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
35	34	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
36	35	sumeq1d 13482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
37	36	oveq1d 6297	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
38	31, 37	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
39	38	oveq1d 6297	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
41		elfznn0 11766	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
42	41, 27	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
43	40, 42	fsumcl 13514	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
44	6	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
45		faccl 12327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
47	46	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
48	47	rpreccld 11262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
49	44, 48	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
50	9, 10, 13, 14, 49, 29	isumrpcl 13614	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
51	50	rpred 11252	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
52	51	recnd 9618	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
53	43, 52	pncan2d 9928	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
54	39, 53	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
55	54	oveq2d 6298	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
56	11	nnnn0d 10848	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN0 )
57		faccl 12327	. . . . . . 7 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` Q ) e. NN )
58	56, 57	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
59	58	nncnd 10548	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
60		ere 13682	. . . . . . 7 |- _e e. RR
61	60	recni 9604	. . . . . 6 |- _e e. CC
62	61	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> _e e. CC )
63	59, 62, 43	subdid 10008	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
64	55, 63	eqtr3d 2510	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
65		eirr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( P / Q ) )
66	65	oveq2d 6298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
67		eirr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
68	67	zcnd 10963	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
69	11	nnne0d 10576	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q =/= 0 )
70	59, 68, 32, 69	div12d 10352	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
71	66, 70	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
72	11	nnred 10547	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. RR )
73	72	leidd 10115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q <_ Q )
74		facdiv 12329	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
75	56, 11, 73, 74	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
76	75	nnzd 10961	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
77	67, 76	zmulcld 10968	. . . . 5 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
78	71, 77	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. ZZ )
79	40, 59, 42	fsummulc2 13558	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
80	41	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
81	80, 6	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
82	81	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
83	59	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
84	41, 46	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
85	84	nncnd 10548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
86		facne0 12328	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) =/= 0 )
87	80, 86	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
88	83, 85, 87	divrecd 10319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
89	82, 88	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
90		permnn 12368	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
91	90	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
92	89, 91	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
93	92	nnzd 10961	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
94	40, 93	fsumzcl 13516	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
95	79, 94	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	78, 95	zsubcld 10967	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
97	64, 96	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98		0zd 10872	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
99	58	nnrpd 11251	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
100	99, 50	rpmulcld 11268	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
101	100	rpgt0d 11255	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
102	12	peano2nnd 10549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
103	102	nnred 10547	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
104		faccl 12327	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
105	13, 104	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
106	105, 12	nnmulcld 10579	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
107	103, 106	nndivred 10580	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
108	58	nnrecred 10577	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
109		abs1 13089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 1 ) = 1
110	109	oveq1i 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
111	110	oveq1i 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
112	111	mpteq2i 4530	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
113	20, 112	eqtr4i 2499	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
114		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
115		1le1 10173	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
116	109, 115	eqbrtri 4466	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
118	20, 113, 114, 12, 24, 117	eftlub 13701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
119	50	rprege0d 11259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
120		absid 13088	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
121	119, 120	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
122	109	oveq1i 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
123	12	nnzd 10961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
124		1exp 12159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
125	123, 124	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
126	122, 125	syl5eq 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
127	126	oveq1d 6297	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
128	107	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
129	128	mulid2d 9610	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
130	127, 129	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
131	118, 121, 130	3brtr3d 4476	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
132	12	nnred 10547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
133	132, 132	readdcld 9619	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
134	132, 132	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
135		1red 9607	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
136	11	nnge1d 10574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ Q )
137		1nn 10543	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
138		nnleltp1 10913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
139	137, 11, 138	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
141	135, 132, 132, 140	ltadd2dd 9736	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
142	12	nncnd 10548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
143	142	2timesd 10777	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
144		df-2 10590	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
145	135, 72, 135, 136	leadd1dd 10162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
146	144, 145	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
147		2re 10601	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
149	12	nngt0d 10575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
150		lemul1 10390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
151	148, 132, 132, 149, 150	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
152	146, 151	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	143, 152	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	103, 133, 134, 141, 153	ltletrd 9737	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
155		facp1 12322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
156	56, 155	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
157	156	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
158	105	nncnd 10548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
159	58	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` Q ) =/= 0 )
160	158, 59, 159	divrecd 10319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
161	142, 59, 159	divcan3d 10321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
162	157, 160, 161	3eqtr3rd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	162	oveq1d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
164	108	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
165	158, 164, 142	mul32d 9785	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
166	163, 165	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
167	154, 166	breqtrd 4471	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
168	106	nnred 10547	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
169	106	nngt0d 10575	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
170		ltdivmul 10413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
171	103, 108, 168, 169, 170	syl112anc 1232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
172	167, 171	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
173	51, 107, 108, 131, 172	lelttrd 9735	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
174	51, 135, 99	ltmuldiv2d 11296	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
175	173, 174	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
176		0p1e1 10643	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
177	175, 176	syl6breqr 4487	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
178		btwnnz 10933	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) ) -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
179	98, 101, 177, 178	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
180	97, 179	pm2.65i 173	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668   seqcseq 12071   ^cexp 12130   !cfa 12317   abscabs 13026   ~~> cli 13266   sum_csu 13467   _eceu 13656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662

This theorem is referenced by:  eirr  13795