Theorem leadd1dd 10520

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 10500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 221	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  lesub3d  10524  supaddc  10867  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  xleadd1a  11955  fzoaddel  12388  fladdz  12488  ltdifltdiv  12497  bernneq3  12854  caucvgrlem  14251  eirrlem  14771  vdwlem3  15525  vdwlem9  15531  vdwlem10  15532  2expltfac  15637  pcoass  22632  trirn  22991  minveclem2  23005  ovolfiniun  23076  ovolshftlem1  23084  unmbl  23112  uniioombllem5  23161  opnmbllem  23175  vitalilem2  23184  itg2split  23322  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem4  23596  dvfsum2  23601  fta1glem2  23730  coemullem  23810  fta1lem  23866  leibpi  24469  log2tlbnd  24472  jensenlem2  24514  harmonicubnd  24536  harmonicbnd4  24537  lgamgulmlem5  24559  lgambdd  24563  ppiub  24729  bcmono  24802  bposlem5  24813  mulog2sumlem2  25024  selberg2lem  25039  chpdifbndlem1  25042  pntrlog2bndlem2  25067  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntlemg  25087  pntlemk  25095  pntlemo  25096  qabvle  25114  ostth2lem3  25124  minvecolem2  27115  nndiffz1  28936  reofld  29171  dya2icoseg  29666  rescon  30482  poimirlem15  32594  opnmbllem0  32615  itg2addnclem3  32633  bfplem2  32792  pellexlem2  36412  rmygeid  36549  jm3.1lem2  36603  fzisoeu  38455  absnpncan2d  38457  absnpncan3d  38462  leadd12dd  38473  iccshift  38591  fsumnncl  38638  climsuselem1  38674  sumnnodd  38697  climleltrp  38743  dvbdfbdioolem2  38819  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnmul  38833  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  stoweidlem1  38894  stoweidlem11  38904  stoweidlem14  38907  stoweidlem26  38919  stoweidlem44  38937  stirlinglem11  38977  fourierdlem10  39010  fourierdlem11  39011  fourierdlem15  39015  fourierdlem30  39030  fourierdlem42  39042  fourierdlem68  39067  fourierdlem79  39078  fourierdlem92  39091  sge0xaddlem1  39326  carageniuncllem2  39412  hoidmv1lelem1  39481  ovolval5lem1  39542  smfmullem1  39676