Theorem nn0uz 11598

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 11283	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 11265	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 11565	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2635	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  elnn0uz  11601  2eluzge0  11609  eluznn0  11633  nn0inf  11646  fseq1p1m1  12283  fznn0sub2  12315  nn0split  12323  prednn0  12332  fzossnn0  12368  fzennn  12629  hashgf1o  12632  exple1  12782  faclbnd4lem1  12942  bcval5  12967  bcpasc  12970  hashfzo0  13077  hashf1  13098  ccatval2  13215  ccatass  13224  ccatrn  13225  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  wrdeqs1cat  13326  cats1un  13327  splfv2a  13358  splval2  13359  revccat  13366  cats1fv  13455  binom1dif  14404  isumnn0nn  14413  climcndslem1  14420  climcnds  14422  harmonic  14430  arisum2  14432  explecnv  14436  geoser  14438  geolim  14440  geolim2  14441  geomulcvg  14446  geoisum  14447  geoisumr  14448  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  mertens  14457  fallfacfwd  14606  0fallfac  14607  binomfallfaclem2  14610  bpolylem  14618  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  bpoly2  14627  bpoly3  14628  bpoly4  14629  efcllem  14647  ef0lem  14648  eff  14651  efcvg  14654  efcvgfsum  14655  reefcl  14656  ege2le3  14659  efcj  14661  eftlcvg  14675  eftlub  14678  effsumlt  14680  ef4p  14682  efgt1p2  14683  efgt1p  14684  eflegeo  14690  eirrlem  14771  ruclem6  14803  ruclem7  14804  divalglem2  14956  divalglem5  14958  bitsfzolem  14994  bitsfzo  14995  bitsfi  14997  bitsinv1lem  15001  bitsinv1  15002  bitsinvp1  15009  sadcf  15013  sadcp1  15015  sadadd  15027  sadass  15031  bitsres  15033  smupf  15038  smupp1  15040  smuval2  15042  smupval  15048  smueqlem  15050  smumul  15053  alginv  15126  algcvg  15127  algcvga  15130  algfx  15131  eucalgcvga  15137  eucalg  15138  phiprmpw  15319  prmdiv  15328  iserodd  15378  pcfac  15441  prmreclem2  15459  prmreclem4  15461  vdwapun  15516  vdwlem1  15523  ramcl2lem  15551  ramtcl  15552  ramtub  15554  gsumwsubmcl  17198  gsumws1  17199  gsumccat  17201  gsumwmhm  17205  psgnunilem2  17738  psgnunilem4  17740  sylow1lem1  17836  efginvrel2  17963  efgredleme  17979  efgredlemc  17981  efgcpbllemb  17991  frgpuplem  18008  telgsumfz0s  18211  telgsums  18213  pgpfaclem1  18303  psrbaglefi  19193  ltbwe  19293  pmatcollpw3fi1lem1  20410  chfacfisf  20478  chfacfisfcpmat  20479  iscmet3lem3  22896  dyadmax  23172  mbfi1fseqlem3  23290  itgcnlem  23362  dvnff  23492  dvnp1  23494  dvn2bss  23499  cpncn  23505  dveflem  23546  ig1peu  23735  ig1pdvds  23740  ply1termlem  23763  plyeq0lem  23770  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  dgrcl  23793  dgrub  23794  dgrlb  23796  coeid3  23800  plyco  23801  coeeq2  23802  coefv0  23808  coemulhi  23814  coemulc  23815  dvply1  23843  vieta1lem2  23870  vieta1  23871  elqaalem2  23879  elqaalem3  23880  geolim3  23898  dvntaylp  23929  taylthlem1  23931  radcnvlem1  23971  radcnvlem2  23972  radcnvlem3  23973  radcnv0  23974  radcnvlt2  23977  dvradcnv  23979  pserulm  23980  psercn2  23981  pserdvlem2  23986  pserdv2  23988  abelthlem4  23992  abelthlem5  23993  abelthlem6  23994  abelthlem7  23996  abelthlem8  23997  abelthlem9  23998  advlogexp  24201  logtayllem  24205  logtayl  24206  cxpeq  24298  leibpi  24469  leibpisum  24470  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem2  24474  birthdaylem3  24480  wilthlem2  24595  ftalem1  24599  ftalem5  24603  basellem2  24608  basellem3  24609  basellem5  24611  musum  24717  0sgmppw  24723  1sgmprm  24724  chtublem  24736  logexprlim  24750  lgseisenlem1  24900  lgsquadlem2  24906  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  dchrisum0flblem1  24997  ostth2lem3  25124  tgcgr4  25226  eupares  26502  eupap1  26503  eupath2lem3  26506  eupath2  26507  konigsberg  26514  oddpwdc  29743  eulerpartlemb  29757  sseqfn  29779  sseqf  29781  signsplypnf  29953  signstcl  29968  signstf  29969  signstfvn  29972  signstfvneq0  29975  subfacval2  30423  subfaclim  30424  cvmliftlem7  30527  fwddifnp1  31442  knoppcnlem6  31658  knoppcnlem8  31660  knoppcnlem9  31661  knoppcnlem11  31663  knoppcn  31664  knoppndvlem4  31676  knoppndvlem6  31678  knoppf  31696  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem18  32597  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem25  32604  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  heiborlem4  32783  heiborlem6  32785  mapfzcons  36297  irrapxlem1  36404  ltrmynn0  36533  ltrmxnn0  36534  acongeq  36568  jm2.23  36581  jm2.26lem3  36586  dfrtrcl3  37044  radcnvrat  37535  bcc0  37561  dvradcnv2  37568  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemrat  37571  binomcxplemradcnv  37573  binomcxplemnotnn0  37577  fzssnn0  38474  expfac  38724  dvnmptdivc  38828  dvnmul  38833  dvnprodlem3  38838  stoweidlem17  38910  stoweidlem34  38927  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  fourierdlem15  39015  fourierdlem25  39025  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem52  39051  fourierdlem54  39053  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem81  39080  fourierdlem92  39091  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem113  39112  fourierdlem114  39113  elaa2lem  39126  etransclem4  39131  etransclem10  39137  etransclem14  39141  etransclem15  39142  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem31  39158  etransclem32  39159  etransclem35  39162  etransclem44  39171  etransclem46  39173  etransclem48  39175  pwdif  40039  eupth2lems  41406  ssnn0ssfz  41920  aacllem  42356