Theorem wrdeqs1cat 13326

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		1nn0 11185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0elfz 12305	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...1))
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0...1))
5		wrdfin 13178	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 ∈ Fin)
6		1elfz0hash 13040	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
7	5, 6	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
8		lennncl 13180	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 11228	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		eluzfz2 12220	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
11		nn0uz 11598	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleq2s 2706	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
14		ccatswrd 13308	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
15	1, 4, 7, 13, 14	syl13anc 1320	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
16		0p1e1 11009	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	opeq2i 4344	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (0 + 1)⟩ = ⟨0, 1⟩
18	17	oveq2i 6560	. . . 4 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩)
19		0nn0 11184	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ ℕ0)
21		hashgt0 13038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (#‘𝑊))
22		elfzo0 12376	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
23	20, 8, 21, 22	syl3anbrc 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
24		swrds1 13303	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
25	23, 24	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
26	18, 25	syl5eqr 2658	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
27	26	oveq1d 6564	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))
28		swrdid 13280	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
30	15, 27, 29	3eqtr3rd 2653	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158

This theorem is referenced by: (None)