Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinvp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinvp1 15009
 Description: Recursive definition of the inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
bitsinv.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bitsinvp1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))

Proof of Theorem bitsinvp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzonel 12352 . . . . . . 7 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
3 disjsn 4192 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
42, 3sylibr 223 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
54ineq2d 3776 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = (𝐴 ∩ ∅))
6 inindi 3792 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁}))
7 in0 3920 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
85, 6, 73eqtr3g 2667 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (𝐴 ∩ {𝑁})) = ∅)
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 11598 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
119, 10syl6eleq 2698 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12 fzosplitsn 12442 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
1413ineq2d 3776 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
15 indi 3832 . . . 4 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁}))
1614, 15syl6eq 2660 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∪ (𝐴 ∩ {𝑁})))
17 fzofi 12635 . . . . 5 (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
19 inss2 3796 . . . 4 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
20 ssfi 8065 . . . 4 (((0..^(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
2118, 19, 20sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
22 2nn 11062 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
24 inss1 3795 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ 𝐴
25 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2624, 25syl5ss 3579 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
2726sselda 3568 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2823, 27nnexpcld 12892 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 10913 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
308, 16, 21, 29fsumsplit 14318 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
31 elfpw 8151 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Fin))
3226, 21, 31sylanbrc 695 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
33 bitsinv.k . . . 4 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
3433bitsinv 15008 . . 3 ((𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
3532, 34syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))(2↑𝑘))
36 inss1 3795 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
3736, 25syl5ss 3579 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
38 fzofi 12635 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
40 inss2 3796 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
41 ssfi 8065 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4239, 40, 41sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
43 elfpw 8151 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4437, 42, 43sylanbrc 695 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
4533bitsinv 15008 . . . 4 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘))
47 snssi 4280 . . . . . . . 8 (𝑁𝐴 → {𝑁} ⊆ 𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → {𝑁} ⊆ 𝐴)
49 sseqin2 3779 . . . . . . 7 ({𝑁} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5048, 49sylib 207 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = {𝑁})
5150sumeq1d 14279 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘))
52 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁𝐴)
5322a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 2 ∈ ℕ)
54 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5553, 54nnexpcld 12892 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5655nncnd 10913 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
57 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5857sumsn 14319 . . . . . 6 ((𝑁𝐴 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
5952, 56, 58syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑁} (2↑𝑘) = (2↑𝑁))
6051, 59eqtr2d 2645 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
61 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → ¬ 𝑁𝐴)
62 disjsn 4192 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁𝐴)
6361, 62sylibr 223 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑁}) = ∅)
6463sumeq1d 14279 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘))
65 sum0 14299 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ (2↑𝑘) = 0
6664, 65syl6req 2661 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6760, 66ifeqda 4071 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘))
6846, 67oveq12d 6567 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∩ {𝑁})(2↑𝑘)))
6930, 35, 683eqtr4d 2654 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  bitscbits 14979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-bits 14982 This theorem is referenced by:  sadcaddlem  15017  sadadd2lem  15019
 Copyright terms: Public domain W3C validator