Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval2 30423
 Description: A closed-form expression for the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑘,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem subfacval2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
2 derang.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . 7 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfac0 30413 . . . . . 6 (𝑆‘0) = 1
51, 4syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = 1)
6 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
7 fac0 12925 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
86, 7syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = 1)
9 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...𝑥) = (0...0))
109sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
118, 10oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
125, 11eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ 1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
13 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
14 0p1e1 11009 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1513, 14syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = 1)
1615fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘1))
172, 3subfac1 30414 . . . . . 6 (𝑆‘1) = 0
1816, 17syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = 0)
1915fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘1))
20 fac1 12926 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
2119, 20syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑥 + 1)) = 1)
2215oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...1))
2322sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2421, 23oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
2518, 24eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
2612, 25anbi12d 743 . . 3 (𝑥 = 0 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ (1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
27 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑚))
28 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (!‘𝑥) = (!‘𝑚))
29 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (0...𝑥) = (0...𝑚))
3029sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3128, 30oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
3227, 31eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
33 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 + 1) = (𝑚 + 1))
3433fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘(𝑚 + 1)))
3533fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(𝑚 + 1)))
3633oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...(𝑚 + 1)))
3736sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3835, 37oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
3934, 38eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
4032, 39anbi12d 743 . . 3 (𝑥 = 𝑚 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
41 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑚 + 1)))
42 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑚 + 1)))
43 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (0...𝑥) = (0...(𝑚 + 1)))
4443sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4542, 44oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
4641, 45eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
47 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 + 1) = ((𝑚 + 1) + 1))
4847fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)))
4947fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘((𝑚 + 1) + 1)))
5047oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (0...(𝑥 + 1)) = (0...((𝑚 + 1) + 1)))
5150sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5249, 51oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
5348, 52eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
5446, 53anbi12d 743 . . 3 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
55 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑁))
56 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
57 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0...𝑥) = (0...𝑁))
5857sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5956, 58oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
6055, 59eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
61 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 + 1) = (𝑁 + 1))
6261fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘(𝑁 + 1)))
6361fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(𝑁 + 1)))
6461oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
6564sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6663, 65oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
6762, 66eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
6860, 67anbi12d 743 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
69 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
70 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
71 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
72 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
73 exp0 12726 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-1↑0) = 1
7571, 74syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = 1)
76 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
7776, 7syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
7875, 77oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (1 / 1))
7970div1i 10632 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
8078, 79syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
8180fsum1 14320 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
8269, 70, 81mp2an 704 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1
8382oveq2i 6560 . . . . 5 (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · 1)
84 1t1e1 11052 . . . . 5 (1 · 1) = 1
8583, 84eqtr2i 2633 . . . 4 1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
86 nn0uz 11598 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
87 1e0p1 11428 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
88 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (-1↑𝑘) = (-1↑1))
89 exp1 12728 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
9072, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑1) = -1
9188, 90syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (-1↑𝑘) = -1)
92 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (!‘𝑘) = (!‘1))
9392, 20syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (!‘𝑘) = 1)
9491, 93oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (-1 / 1))
9572div1i 10632 . . . . . . . . . 10 (-1 / 1) = -1
9694, 95syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = -1)
97 neg1rr 11002 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℝ
98 reexpcl 12739 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
9997, 98mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
100 faccl 12932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
10199, 100nndivred 10946 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
102101recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
103102adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
104 0nn0 11184 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
105104, 82pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1))
107 1pneg1e0 11006 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (1 + -1) = 0)
10986, 87, 96, 103, 106, 108fsump1i 14342 . . . . . . . 8 (⊤ → (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0))
110109trud 1484 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0)
111110simpri 477 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0
112111oveq2i 6560 . . . . 5 (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · 0)
11370mul01i 10105 . . . . 5 (1 · 0) = 0
114112, 113eqtr2i 2633 . . . 4 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11585, 114pm3.2i 470 . . 3 (1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
116 simpr 476 . . . . 5 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
117116a1i 11 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
118 oveq12 6558 . . . . . . 7 (((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
119118ancoms 468 . . . . . 6 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120119oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
121 nn0p1nn 11209 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1222, 3subfacp1 30422 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))))
123121, 122syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))))
124 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
125 pncan 10166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
126124, 70, 125sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
127126fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑆𝑚))
128127oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1))) = ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)))
129128oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))))
130123, 129eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))))
131 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
132 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
134 faccl 12932 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℕ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℕ)
136135nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
137 fzfid 12634 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (0...(𝑚 + 1)) ∈ Fin)
138 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139138adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
141137, 140fsumcl 14311 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
142 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
14372, 133, 142sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
144135nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ≠ 0)
145143, 136, 144divcld 10680 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))) ∈ ℂ)
146136, 141, 145adddid 9943 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))))
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
148147, 86syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ‘0))
149 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑚 + 1)))
150 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑚 + 1)))
151149, 150oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))
152148, 140, 151fsump1 14329 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))))
153152oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
154 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (0...𝑚) ∈ Fin)
155 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ0)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
157156, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
158154, 157fsumcl 14311 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
159 expcl 12740 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
16072, 131, 159sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
161 faccl 12932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
162131, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ≠ 0)
165160, 163, 164divcld 10680 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
166136, 158, 165adddid 9943 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
167 facp1 12927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
168131, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
169 facp1 12927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)))
170 faccl 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
171170nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
172121nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
173171, 172mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) = ((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)))
174169, 173eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)))
175174oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) = (((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
176133nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℂ)
177172, 171, 176mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)) · ((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))))
178168, 175, 1773eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))))
179178oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
180136, 160, 163, 164div12d 10716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))))
181168oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))
182176, 163, 164divcan3d 10685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = ((𝑚 + 1) + 1))
183181, 182eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = ((𝑚 + 1) + 1))
184183oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
185180, 184eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
186179, 185oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))))
187153, 166, 1863eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))))
188143, 136, 144divcan2d 10682 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1)))) = (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))
189187, 188oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))))
190171, 176mulcld 9939 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
191172, 190, 158mulassd 9942 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
19272a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
193160, 176, 192adddid 9943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · (((𝑚 + 1) + 1) + -1)) = (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)))
194 negsub 10208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (((𝑚 + 1) + 1) − 1))
195176, 70, 194sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (((𝑚 + 1) + 1) − 1))
196 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑚 + 1) + 1) − 1) = (𝑚 + 1))
197172, 70, 196sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) − 1) = (𝑚 + 1))
198195, 197eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (𝑚 + 1))
199198oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · (((𝑚 + 1) + 1) + -1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
200193, 199eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
201 expp1 12729 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1))
20272, 131, 201sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1))
203202oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)))
204172, 160mulcomd 9940 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
205200, 203, 2043eqtr4d 2654 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1))))
206191, 205oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))) = (((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1)))))
207172, 190mulcld 9939 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) ∈ ℂ)
208207, 158mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
209160, 176mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
210208, 209, 143addassd 9941 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))))
211190, 158mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
212172, 211, 160adddid 9943 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))) = (((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1)))))
213206, 210, 2123eqtr4d 2654 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
214146, 189, 2133eqtrd 2648 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
215131, 86syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘0))
216 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
217216adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
218217, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
219 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))
220 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → (!‘𝑘) = (!‘((𝑚 + 1) + 1)))
221219, 220oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))
222215, 218, 221fsump1 14329 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1)))))
223222oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))))
224163, 158mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
225171, 158mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
226224, 160, 225add32d 10142 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
227152oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
228163, 158, 165adddid 9943 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
229160, 163, 164divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = (-1↑(𝑚 + 1)))
230229oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
231227, 228, 2303eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
232231oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
23370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
234171, 172, 233adddid 9943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) = (((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) + ((!‘𝑚) · 1)))
235169eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) = (!‘(𝑚 + 1)))
236171mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
237235, 236oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) + ((!‘𝑚) · 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)))
238234, 237eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)))
239238oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
240163, 171, 158adddird 9944 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
241239, 240eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
242241oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
243226, 232, 2423eqtr4d 2654 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
244243oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
245214, 223, 2443eqtr4d 2654 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
246130, 245eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))))
247120, 246syl5ibr 235 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
248117, 247jcad 554 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
24926, 40, 54, 68, 115, 248nn0ind 11348 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
250249simpld 474 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922  #chash 12979  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  subfaclim  30424
 Copyright terms: Public domain W3C validator