MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3lem3 22896
Description: Lemma for iscmet3 22899. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpl 472 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 476 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4 eluzelz 11573 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
54, 1eleq2s 2706 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8 eqid 2610 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9 ovex 6577 . . . . 5 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6191 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
116, 10syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12 nn0uz 11598 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1312reseq2i 5314 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0))
14 nn0ssz 11275 . . . . . . 7 0 ⊆ ℤ
15 resmpt 5369 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
1713, 16eqtr3i 2634 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18 halfcn 11124 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20 halfre 11123 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
21 1rp 11712 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
22 rphalfcl 11734 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ+
24 rpge0 11721 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 2))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
26 absid 13884 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2720, 25, 26mp2an 704 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
28 halflt1 11127 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2927, 28eqbrtri 4604 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
3119, 30expcnv 14435 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
3217, 31syl5eqbr 4618 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0)
33 0z 11265 . . . . 5 0 ∈ ℤ
34 zex 11263 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
3534mptex 6390 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
37 climres 14154 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3833, 36, 37sylancr 694 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3932, 38mpbid 221 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
401, 2, 3, 11, 39climi0 14091 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
411uztrn2 11581 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
42 rpexpcl 12741 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4323, 6, 42sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
44 rpre 11715 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
45 rpge0 11721 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
4644, 45absidd 14009 . . . . . . . 8 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4743, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4847breq1d 4593 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
4941, 48sylan2 490 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5049anassrs 678 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5150ralbidva 2968 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5251rexbidva 3031 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5340, 52mpbid 221 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  cexp 12722  abscabs 13822  cli 14063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  22897  iscmet3lem2  22898
  Copyright terms: Public domain W3C validator