Theorem rphalfcl 11734

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 11713	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 11732	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  rphalfcld  11760  rpltrp  12042  cau3lem  13942  2clim  14151  addcn2  14172  mulcn2  14174  climcau  14249  metcnpi3  22161  ngptgp  22250  iccntr  22432  reconnlem2  22438  opnreen  22442  xmetdcn2  22448  cnllycmp  22563  iscfil3  22879  cfilfcls  22880  iscmet3lem3  22896  iscmet3lem1  22897  iscmet3lem2  22898  iscmet3  22899  lmcau  22919  bcthlem5  22933  ivthlem2  23028  uniioombl  23163  dvcnvre  23586  aaliou  23897  ulmcaulem  23952  ulmcau  23953  ulmcn  23957  ulmdvlem3  23960  tanregt0  24089  argregt0  24160  argrege0  24161  logimul  24164  resqrtcn  24290  asin1  24421  reasinsin  24423  atanbnd  24453  atan1  24455  sqrtlim  24499  basellem4  24610  chpchtlim  24968  mulog2sumlem2  25024  pntlem3  25098  vacn  26933  ubthlem1  27110  nmcexi  28269  poimirlem29  32608  heicant  32614  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anc  32663  heibor1lem  32778  heiborlem8  32787  bfplem2  32792  supxrge  38495  suplesup  38496  infleinflem1  38527  infleinf  38529  addlimc  38715  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  sge0xaddlem2  39327  smflimlem4  39660