MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absidd 14009
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
absidd (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqrcld.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 absid 13884 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  cr 9814  0cc0 9815  cle 9954  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  rlimno1  14232  iseralt  14263  cvgcmpce  14391  divrcnv  14423  geomulcvg  14446  cvgrat  14454  mertenslem2  14456  eftabs  14645  efcllem  14647  efaddlem  14662  eftlub  14678  eflegeo  14690  ef01bndlem  14753  absef  14766  efieq1re  14768  dvdseq  14874  divalg2  14966  nn0gcdid0  15080  absmulgcd  15104  gcdmultiple  15107  gcdmultiplez  15108  lcmgcdlem  15157  mulgcddvds  15207  phibndlem  15313  dfphi2  15317  mul4sqlem  15495  4sqlem11  15497  prmirredlem  19660  prmirred  19662  blcvx  22409  reperflem  22429  reconnlem2  22438  nmoleub2lem3  22723  nmoleub3  22727  tchcphlem1  22842  iscmet3lem3  22896  pjthlem1  23016  lhop1lem  23580  ftc1lem4  23606  plyeq0lem  23770  aalioulem4  23894  mtest  23962  radcnvlem1  23971  radcnvlt1  23976  radcnvle  23978  dvradcnv  23979  pserdvlem2  23986  abelth2  24000  tanabsge  24062  sineq0  24077  divlogrlim  24181  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  logtayllem  24205  logtayl  24206  abscxp2  24239  chordthmlem4  24362  rlimcnp  24492  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem5  24559  lgamcvg2  24581  ftalem5  24603  lgsval2lem  24832  lgsval4a  24844  2sqlem3  24945  chebbnd1  24961  chtppilimlem2  24963  chto1ub  24965  vmadivsum  24971  vmadivsumb  24972  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem2  24979  dchrisumlem3  24980  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0re  25002  rplogsum  25016  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  2vmadivsumlem  25029  selbergb  25038  selberg2lem  25039  selberg2b  25041  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  selberg4lem1  25049  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1a  25074  pntpbnd1  25075  pntibndlem2  25080  ostth2  25126  htthlem  27158  bcsiALT  27420  norm1  27490  pjhthlem1  27634  nmbdoplbi  28267  nmcexi  28269  nmcopexi  28270  nmcoplbi  28271  nmbdfnlbi  28292  nmcfnexi  28294  nmcfnlbi  28295  cnlnadjlem7  28316  nmopcoi  28338  nmopcoadji  28344  branmfn  28348  strlem1  28493  subfaclim  30424  dnizphlfeqhlf  31636  dnibndlem6  31643  dnibndlem9  31646  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem14  31686  poimirlem29  32608  ftc1cnnclem  32653  ftc1anclem5  32659  lmclim2  32724  geomcau  32725  cntotbnd  32765  irrapxlem2  36405  irrapxlem5  36408  pellexlem2  36412  oddcomabszz  36527  jm2.19  36578  jm2.26lem3  36586  absmulrposd  37477  nzprmdif  37540  0ellimcdiv  38716  stoweidlem7  38900  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  etransclem23  39150  etransclem41  39168  hoiqssbllem2  39513  blenre  42166  blennn  42167
  Copyright terms: Public domain W3C validator