Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem15 39142
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem15.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem15.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem15.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem15.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem15.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) ≠ (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem15 (𝜑𝑇 = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem15
StepHypRef Expression
1 etransclem15.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
3 iftrue 4042 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) < (𝐶‘0) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
5 iffalse 4045 . . . . . . . 8 (¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
7 etransclem15.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = 0)
87oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
10 etransclem15.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
12 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1311, 12zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
14 etransclem15.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
15 etransclem15.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
1715, 16syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
18 eluzfz1 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2014, 19ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
2120elfzelzd 38471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
2213, 21zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
2421zred 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
2613zred 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
2925, 27, 28nltled 10066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
30 etransclem15.cpm1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘0) ≠ (𝑃 − 1))
3130necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ (𝐶‘0))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐶‘0))
3325, 27, 29, 32leneltd 10070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) < (𝑃 − 1))
3425, 27posdifd 10493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
3533, 34mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
36 elnnz 11264 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
3723, 35, 36sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ)
38370expd 12886 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 0)
399, 38eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 0)
4039oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · 0))
41 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4342faccld 12933 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
4443nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4637nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
4746faccld 12933 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℕ)
4847nncnd 10913 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℂ)
4947nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ≠ 0)
5045, 48, 49divcld 10680 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℂ)
5150mul01d 10114 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · 0) = 0)
526, 40, 513eqtrd 2648 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
534, 52pm2.61dan 828 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
5453oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
557, 19eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
5610, 14, 55etransclem7 39134 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
5756zcnd 11359 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
5857mul02d 10113 . . . 4 (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 0)
5954, 58eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 0)
6059oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · 0))
61 etransclem15.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6261faccld 12933 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6362nncnd 10913 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
64 fzfid 12634 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
65 fzssnn0 38474 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
6614ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
6765, 66sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
6867faccld 12933 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
6968nncnd 10913 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7064, 69fprodcl 14521 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7168nnne0d 10942 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
7264, 69, 71fprodn0 14548 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
7363, 70, 72divcld 10680 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
7473mul01d 10114 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · 0) = 0)
752, 60, 743eqtrd 2648 1 (𝜑𝑇 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  ifcif 4036   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cexp 12722  !cfa 12922  cprod 14474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475
This theorem is referenced by:  etransclem28  39155
  Copyright terms: Public domain W3C validator