Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlogexp Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set 𝐴 = 1 and multiply by (-1)↑𝑁 · 𝑁! to get the antiderivative of log(𝑥)↑𝑁 itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12634 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝑁) ∈ Fin)
2 rpcn 11717 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
32adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 rpdivcl 11732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ+)
54adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ+)
65relogcld 24173 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ)
7 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 reexpcl 12739 . . . . . . . . 9 (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 493 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
107adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 faccl 12932 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
139, 12nndivred 10946 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
1413recnd 9947 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
151, 3, 14fsummulc2 14358 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
16 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 nn0uz 11598 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1816, 17syl6eleq 2698 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
193adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2019, 14mulcld 9939 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
21 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0))
22 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
23 fac0 12925 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
2422, 23syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
2521, 24oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1))
2625oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
2718, 20, 26fsum1p 14326 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
286recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
2928exp0d 12864 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) = 1)
3029oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = (1 / 1))
31 1div1e1 10596 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3230, 31syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = 1)
3332oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = (𝑥 · 1))
343mulid1d 9936 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
3533, 34eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = 𝑥)
36 1zzd 11285 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
37 nn0z 11277 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3837ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4039oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
41 0z 11265 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
42 fzp1ss 12262 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
4440, 43eqsstr3i 3599 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
4544sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
4645, 20sylan2 490 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
47 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
48 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑗 + 1)))
4947, 48oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
5049oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
5136, 36, 38, 46, 50fsumshftm 14355 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
5240sumeq1i 14276 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5352a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
54 1m1e0 10966 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
5554oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((1 − 1)..^𝑁) = (0..^𝑁)
56 fzoval 12340 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
5738, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
5855, 57syl5eqr 2658 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
5958sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
6051, 53, 593eqtr4d 2654 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
6135, 60oveq12d 6567 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
6215, 27, 613eqtrd 2648 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
6362mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))))
6463oveq2d 6565 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))))
65 reelprrecn 9907 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6665a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
67 1cnd 9935 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
68 recn 9905 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6968adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
70 1cnd 9935 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7166dvmptid 23526 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
72 rpssre 11719 . . . . 5 + ⊆ ℝ
7372a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → ℝ+ ⊆ ℝ)
74 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7574tgioo2 22414 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
76 ioorp 12122 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
77 iooretop 22379 . . . . . 6 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7876, 77eqeltrri 2685 . . . . 5 + ∈ (topGen‘ran (,))
7978a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
8066, 69, 70, 71, 73, 75, 74, 79dvmptres 23532 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
81 fzofi 12635 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ Fin
8281a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
833adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
84 elfzonn0 12380 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ0)
85 peano2nn0 11210 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
8684, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
87 reexpcl 12739 . . . . . . . 8 (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
886, 86, 87syl2an 493 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8986adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
90 faccl 12932 . . . . . . . 8 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
9189, 90syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
9288, 91nndivred 10946 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
9392recnd 9947 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
9483, 93mulcld 9939 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
9582, 94fsumcl 14311 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
966, 16reexpcld 12887 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) ∈ ℝ)
97 faccl 12932 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9897ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9996, 98nndivred 10946 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
10099recnd 9947 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
101 ax-1cn 9873 . . . 4 1 ∈ ℂ
102 subcl 10159 . . . 4 (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
103100, 101, 102sylancl 693 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
10481a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
10594an32s 842 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
1061053impa 1251 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
107 reexpcl 12739 . . . . . . . . . . 11 (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
1086, 84, 107syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
10984adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
110 faccl 12932 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
112108, 111nndivred 10946 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℝ)
113112recnd 9947 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
11493, 113subcld 10271 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
115114an32s 842 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
1161153impa 1251 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
11765a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
1182adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
119 1cnd 9935 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
12080adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
12193an32s 842 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
122 negex 10158 . . . . . . . 8 -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V)
124 cnelprrecn 9908 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12628adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
127 negex 10158 . . . . . . . . . 10 -(1 / 𝑥) ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
129 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
13084adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
131130, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
132 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
133129, 131, 132syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
134131, 90syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
135134nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
136135adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
137134nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
138137adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
139133, 136, 138divcld 10680 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
140 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑗) ∈ ℂ)
141129, 130, 140syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑗) ∈ ℂ)
142130, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
143142nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
144143adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
145130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
146145, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
147146nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ≠ 0)
148141, 144, 147divcld 10680 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
149 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
150 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
151149, 150relogdivd 24176 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))
152151mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥))))
153152oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))))
154 relogcl 24126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
155154ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
156155recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
157156adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
158 0cnd 9912 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
159156adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
160 0cnd 9912 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
161117, 156dvmptc 23527 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
16272a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ+ ⊆ ℝ)
16378a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
164117, 159, 160, 161, 162, 75, 74, 163dvmptres 23532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
165150relogcld 24173 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
166165recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
167150rpreccld 11758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
168 dvrelog 24183 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
169 relogf1o 24117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
170 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
171169, 170mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
172171feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
173 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
174173mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
175172, 174syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
176175oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
177168, 176syl5reqr 2659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
178117, 157, 158, 164, 166, 167, 177dvmptsub 23536 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
179153, 178eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
180 df-neg 10148 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 𝑥) = (0 − (1 / 𝑥))
181180mpteq2i 4669 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (0 − (1 / 𝑥)))
182179, 181syl6eqr 2662 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 𝑥)))
183 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V
184183a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V)
185 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
186130, 185syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
187 dvexp 23522 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
189125, 133, 184, 188, 135, 137dvmptdivc 23534 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))))
190130nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
192 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
193191, 101, 192sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
194193oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑦𝑗))
195194oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑦𝑗)))
196 facp1 12927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
197145, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
198 peano2cn 10087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℂ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
199191, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
200144, 199mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
201197, 200eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
202195, 201oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((𝑗 + 1) · (𝑦𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))))
203186nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
205141, 144, 199, 147, 204divcan5d 10706 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))) = ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)))
206202, 205eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)))
207206mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗))))
208189, 207eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗))))
209 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
210209oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
211 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦𝑗) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
212211oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
213117, 125, 126, 128, 139, 148, 182, 208, 210, 212dvmptco 23541 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))))
214113an32s 842 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
215167rpcnd 11750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
216214, 215mulneg2d 10363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
217 rpne0 11724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
218217adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
219214, 118, 218divrecd 10683 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
220219negeqd 10154 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
221216, 220eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥))
222221mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
223213, 222eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
224117, 118, 119, 120, 121, 123, 223dvmptmul 23530 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))))
22593mulid2d 9937 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
226 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
227112, 226rerpdivcld 11779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℝ)
228227recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℂ)
229228, 83mulneg1d 10362 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))
230218an32s 842 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
231113, 83, 230divcan1d 10681 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
232231negeqd 10154 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
233229, 232eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
234225, 233oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
23593, 113negsubd 10277 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
236234, 235eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
237236an32s 842 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
238237mpteq2dva 4672 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
239224, 238eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
24075, 74, 66, 79, 104, 106, 116, 239dvmptfsum 23542 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
241 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
242 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (!‘𝑘) = (!‘𝑗))
243241, 242oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
244 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁))
245 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
246244, 245oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
247243, 49, 25, 246, 18, 14telfsumo2 14376 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
24832oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
249247, 248eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
250249mpteq2dva 4672 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
251240, 250eqtrd 2644 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
25266, 3, 67, 80, 95, 103, 251dvmptadd 23529 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))))
253 pncan3 10168 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
254101, 100, 253sylancr 694 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
255254mpteq2dva 4672 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
25664, 252, 2553eqtrd 2648 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  ↑cexp 12722  !cfa 12922  Σcsu 14264  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567   D cdv 23433  logclog 24105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107 This theorem is referenced by:  logexprlim  24750
 Copyright terms: Public domain W3C validator