Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp 23522
 Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥𝑛) = (𝑥↑1))
21mpteq2dv 4673 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)))
32oveq2d 6565 . . 3 (𝑛 = 1 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))))
4 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
5 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
74, 6oveq12d 6567 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
87mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))))
93, 8eqeq12d 2625 . 2 (𝑛 = 1 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))))
10 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
1110mpteq2dv 4673 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
1211oveq2d 6565 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
14 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
1514oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑘 − 1)))
1613, 15oveq12d 6567 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
1716mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
1812, 17eqeq12d 2625 . 2 (𝑛 = 𝑘 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))))
19 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
2019mpteq2dv 4673 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
2120oveq2d 6565 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
22 id 22 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
23 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2423oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))
2522, 24oveq12d 6567 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))
2625mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2721, 26eqeq12d 2625 . 2 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
28 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑁))
2928mpteq2dv 4673 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
3029oveq2d 6565 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))))
31 id 22 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁𝑛 = 𝑁)
32 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3332oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑(𝑛 − 1)) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
3431, 33oveq12d 6567 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
3534mpteq2dv 4673 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
3630, 35eqeq12d 2625 . 2 (𝑛 = 𝑁 → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 · (𝑥↑(𝑛 − 1)))) ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
37 exp1 12728 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
3837mpteq2ia 4668 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
39 mptresid 5375 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) = ( I ↾ ℂ)
4038, 39eqtri 2632 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1)) = ( I ↾ ℂ)
4140oveq2i 6560 . . 3 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
42 1m1e0 10966 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
4342oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (𝑥↑(1 − 1)) = (𝑥↑0)
44 exp0 12726 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
4543, 44syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑(1 − 1)) = 1)
4645oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = (1 · 1))
47 1t1e1 11052 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
4846, 47syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (𝑥↑(1 − 1))) = 1)
4948mpteq2ia 4668 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
50 fconstmpt 5085 . . . . 5 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
5149, 50eqtr4i 2635 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ × {1})
52 dvid 23487 . . . 4 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
5351, 52eqtr4i 2635 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1)))) = (ℂ D ( I ↾ ℂ))
5441, 53eqtr4i 2635 . 2 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥↑(1 − 1))))
55 nncn 10905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
57 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
58 pncan 10166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5956, 57, 58sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
6059oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑥𝑘))
6160oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)))
6257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
63 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
64 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
65 expcl 12740 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6663, 64, 65syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6756, 62, 66adddird 9944 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥𝑘)) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))))
6866mulid2d 9937 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · (𝑥𝑘)) = (𝑥𝑘))
6968oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (1 · (𝑥𝑘))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7061, 67, 693eqtrd 2648 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘)))
7170mpteq2dva 4672 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
72 cnex 9896 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
7456, 66mulcld 9939 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
75 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
76 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7763, 75, 76syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7856, 77mulcld 9939 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
79 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
8139eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
8281a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
8373, 78, 79, 80, 82offval2 6812 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)))
8456, 77, 79mulassd 9942 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
85 expm1t 12750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8685ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑘) = ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥))
8786oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · (𝑥𝑘)) = (𝑘 · ((𝑥↑(𝑘 − 1)) · 𝑥)))
8884, 87eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥) = (𝑘 · (𝑥𝑘)))
8988mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9083, 89eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥𝑘))))
9152, 50eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
93 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9473, 62, 66, 92, 93offval2 6812 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))))
9568mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9694, 95eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
9773, 74, 66, 90, 96offval2 6812 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 · (𝑥𝑘)) + (𝑥𝑘))))
9871, 97eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
99 oveq1 6556 . . . . . . 7 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)))
10099oveq1d 6564 . . . . . 6 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
101100eqcomd 2616 . . . . 5 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
10298, 101sylan9eq 2664 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
103 cnelprrecn 9908 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
104103a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
105 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))
10666, 105fmptd 6292 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
107106adantr 480 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)):ℂ⟶ℂ)
108 f1oi 6086 . . . . . 6 ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
109 f1of 6050 . . . . . 6 (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
110108, 109mp1i 13 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
111 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
112111dmeqd 5248 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))))
113 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))
11478, 113fmptd 6292 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
115114adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ)
116 fdm 5964 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))):ℂ⟶ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
117115, 116syl 17 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) = ℂ)
118112, 117eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = ℂ)
119 1ex 9914 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
120119fconst 6004 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}):ℂ⟶{1}
12152feq1i 5949 . . . . . . . 8 ((ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1} ↔ (ℂ × {1}):ℂ⟶{1})
122120, 121mpbir 220 . . . . . . 7 (ℂ D ( I ↾ ℂ)):ℂ⟶{1}
123122fdmi 5965 . . . . . 6 dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ
124123a1i 11 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → dom (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = ℂ)
125104, 107, 110, 118, 124dvmulf 23512 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 + ((ℂ D ( I ↾ ℂ)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))))
12673, 66, 79, 93, 82offval2 6812 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
127 expp1 12729 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
12863, 64, 127syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
129128mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
130126, 129eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
131130oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
132131adantr 480 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∘𝑓 · ( I ↾ ℂ))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))))
133102, 125, 1323eqtr2rd 2651 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1))))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1)))))
134133ex 449 . 2 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (𝑥↑(𝑘 − 1)))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑘 + 1) · (𝑥↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1359, 18, 27, 36, 54, 134nnind 10915 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ↑cexp 12722   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvexp2  23523  dvexp3  23545  taylthlem2  23932  advlogexp  24201  logdivsum  25022  log2sumbnd  25033  dvasin  32666  areacirclem1  32670  itgpowd  36819  lhe4.4ex1a  37550  dvsinexp  38798  dvxpaek  38830
 Copyright terms: Public domain W3C validator