Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgpowd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgpowd 36819
 Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3 (𝜑𝐴𝐵)
itgpowd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
itgpowd (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 11209 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
43nncnd 10913 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5 itgpowd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 itgpowd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12126 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 ax-resscn 9872 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
108, 9syl6ss 3580 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
1110sselda 3568 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12expcld 12870 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
1410resmptd 5371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)))
15 expcncf 22533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17 rescncf 22508 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1810, 16, 17sylc 63 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1914, 18eqeltrrd 2689 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20 cniccibl 23413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
215, 6, 19, 20syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
2213, 21itgcl 23356 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
233nnne0d 10942 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
244, 13, 21itgmulc2 23406 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
25 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
26 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑁) = (𝑥𝑁))
2726oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
2827adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
29 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
304adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31 ioossicc 12130 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3332sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433, 13syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
3530, 34mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
3625, 28, 29, 35fvmptd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
3736itgeq2dv 23354 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
38 itgpowd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
39 reelprrecn 9907 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
419a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4241sselda 3568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43 1nn0 11185 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
451, 44nn0addcld 11232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4742, 46expcld 12870 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
481nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 1cnd 9935 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5149, 50addcld 9938 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
521adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5342, 52expcld 12870 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5755, 56expcld 12870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))
5957, 58fmptd 6292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
60 ssid 3587 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
624adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
631adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6455, 63expcld 12870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
6562, 64mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
66 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
6765, 66fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ)
68 dvexp 23522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
70 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7148, 70pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7271oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡𝑁))
7372oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
7473mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7569, 74eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7675feq1d 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ))
7767, 76mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
78 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
809, 79syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
81 dvres3 23483 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
8240, 59, 61, 80, 81syl22anc 1319 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
8375reseq1d 5316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
8482, 83eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
85 resmpt 5369 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
869, 85mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
8786oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
88 resmpt 5369 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
899, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
9084, 87, 893eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
91 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9291tgioo2 22414 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93 iccntr 22432 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
945, 6, 93syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
9540, 47, 54, 90, 8, 92, 91, 94dvmptres2 23531 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
96 ioossre 12106 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9796, 9sstri 3577 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
99 cncfmptc 22522 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1004, 98, 61, 99syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
101 resmpt 5369 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
10297, 101mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
103 expcncf 22533 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105 rescncf 22508 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
10698, 104, 105sylc 63 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107102, 106eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
108100, 107mulcncf 23023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10995, 108eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
110 ioombl 23140 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
11248adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
113 1cnd 9935 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 9938 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
11510sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
1161adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117115, 116expcld 12870 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
118114, 117mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
119 cncfmptc 22522 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1204, 10, 61, 119syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
12110resmptd 5371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
122 rescncf 22508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
12310, 104, 122sylc 63 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
124121, 123eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
125120, 124mulcncf 23023 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
126 cniccibl 23413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
1275, 6, 125, 126syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12832, 111, 118, 127iblss 23377 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12995, 128eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
13010resmptd 5371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
131 expcncf 22533 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
13245, 131syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
133 rescncf 22508 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
13410, 132, 133sylc 63 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
135130, 134eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1365, 6, 38, 109, 129, 135ftc2 23611 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
13795fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
138137ralrimivw 2950 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
139 itgeq2 23350 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
140138, 139syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
141 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
142 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
143142oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
1445rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1456rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
146 ubicc2 12160 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
147144, 145, 38, 146syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1486recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
149148, 45expcld 12870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
150141, 143, 147, 149fvmptd 6197 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
151 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
152151oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
153 lbicc2 12159 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
154144, 145, 38, 153syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1555recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
156155, 45expcld 12870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
157141, 152, 154, 156fvmptd 6197 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
158150, 157oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
159136, 140, 1583eqtr3d 2652 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1604adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
161160, 13mulcld 9939 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
1625, 6, 161itgioo 23388 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
16337, 159, 1623eqtr3rd 2653 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
16424, 163eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1654, 22, 23, 164mvllmuld 10736 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  ↑cexp 12722  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  areaquad  36821
 Copyright terms: Public domain W3C validator