Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhe4.4ex1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhe4.4ex1a 37550
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 23611): ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 23611 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 23609 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9934 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 1le2 11118 . . . . 5 1 ≤ 2
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ≤ 2)
6 reelprrecn 9907 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8 recn 9905 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9 3nn0 11187 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
10 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
119, 10mpan2 703 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
128, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
13 3cn 10972 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
14 3ne0 10992 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
15 divcl 10570 . . . . . . . . . 10 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1613, 14, 15mp3an23 1408 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
18 mulcl 9899 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
1913, 8, 18sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
2017, 19subcld 10271 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22 ovex 6577 . . . . . . 7 ((𝑦↑2) − 3) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
2417adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
25 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑦↑2) ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑2) ∈ V)
27 divrec2 10581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2813, 14, 27mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
3029mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
3130oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3))))
3212adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
33 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (3 · (𝑦↑2)) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ V)
35 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))
3635, 11fmpti 6291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ
37 ssid 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
38 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
39 3nn 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℕ
40 dvexp 23522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1))))
42 3m1e2 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 − 1) = 2
4342oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦↑(3 − 1)) = (𝑦↑2)
4443oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 · (𝑦↑(3 − 1))) = (3 · (𝑦↑2))
4544mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4641, 45eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4733, 46dmmpti 5936 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = ℂ
4838, 47sseqtr4i 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)))
49 dvres3 23483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ))
506, 36, 37, 48, 49mp4an 705 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ)
51 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5238, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))
5352oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5446reseq1i 5313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ)
55 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
5638, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5754, 56eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5850, 53, 573eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
60 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
6160, 13, 14divcli 10646 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
637, 32, 34, 59, 62dvmptcmul 23533 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))))
6463trud 1484 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
65 sqcl 12787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
66 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
6713, 65, 66sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
68 divrec2 10581 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
6913, 14, 68mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
708, 67, 693syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
71 divcan3 10590 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7213, 14, 71mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
738, 65, 723syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7470, 73eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))) = (𝑦↑2))
7574mpteq2ia 4668 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7631, 64, 753eqtri 2636 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7776a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2)))
7819adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
79 3ex 10973 . . . . . . . 8 3 ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 3 ∈ V)
818adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
82 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
837dvmptid 23526 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8413a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
857, 81, 82, 83, 84dvmptcmul 23533 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)))
86 3t1e3 11055 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
8786mpteq2i 4669 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3)
8885, 87syl6eq 2660 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3))
897, 24, 26, 77, 78, 80, 88dvmptsub 23536 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
90 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
91 iccssre 12126 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
9290, 2, 91mp2an 704 . . . . . . 7 (1[,]2) ⊆ ℝ
9392a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1[,]2) ⊆ ℝ)
94 eqid 2610 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9594tgioo2 22414 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
96 iccntr 22432 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
9790, 2, 96mp2an 704 . . . . . . 7 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2)
9897a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
997, 21, 23, 89, 93, 95, 94, 98dvmptres2 23531 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
100 ioossicc 12130 . . . . . . 7 (1(,)2) ⊆ (1[,]2)
101 resmpt 5369 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
102100, 101ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
10392, 38sstri 3577 . . . . . . . . 9 (1[,]2) ⊆ ℂ
104 resmpt 5369 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
106 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
107 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10813, 107mpan2 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10965, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
110106, 109fmpti 6291 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ
11137, 110, 373pm3.2i 1232 . . . . . . . . . 10 (ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
112 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0) ∈ V
113 cnelprrecn 9908 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
11565adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
116 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (𝑦↑(2 − 1))) ∈ V
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (𝑦↑(2 − 1))) ∈ V)
118 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
119 dvexp 23522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1))))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
12213a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
123 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
125114, 84dvmptc 23527 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
126114, 115, 117, 121, 122, 124, 125dvmptsub 23536 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0)))
127126trud 1484 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0))
128112, 127dmmpti 5936 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ
129 dvcn 23490 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
130111, 128, 129mp2an 704 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
131 rescncf 22508 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
132103, 130, 131mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
133105, 132eqeltrri 2685 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
134 rescncf 22508 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)))
135100, 133, 134mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
136102, 135eqeltrri 2685 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
13799, 136syl6eqel 2696 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ))
138100a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ⊆ (1[,]2))
139 ioombl 23140 . . . . . . 7 (1(,)2) ∈ dom vol
140139a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ∈ dom vol)
14122a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (1[,]2)) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
142 cniccibl 23413 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14390, 2, 133, 142mp3an 1416 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1
144143a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
145138, 140, 141, 144iblss 23377 . . . . 5 (⊤ → (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14699, 145eqeltrd 2688 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ 𝐿1)
147 resmpt 5369 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))
14892, 147ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
149 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
150149, 20fmpti 6291 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ
151 ssid 3587 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
15238, 150, 1513pm3.2i 1232 . . . . . . . 8 (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ)
15389trud 1484 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
15422, 153dmmpti 5936 . . . . . . . 8 dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ
155 dvcn 23490 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
156152, 154, 155mp2an 704 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
157 rescncf 22508 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
15892, 156, 157mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
159148, 158eqeltrri 2685 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
160159a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ))
1611, 3, 5, 137, 146, 160ftc2 23611 . . 3 (⊤ → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)))
162161trud 1484 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1))
163 itgeq2 23350 . . 3 (∀𝑥 ∈ (1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3) → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥)
164 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦↑2) = (𝑥↑2))
165164oveq1d 6564 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦↑2) − 3) = ((𝑥↑2) − 3))
16699trud 1484 . . . 4 (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
167 ovex 6577 . . . 4 ((𝑥↑2) − 3) ∈ V
168165, 166, 167fvmpt 6191 . . 3 (𝑥 ∈ (1(,)2) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3))
169163, 168mprg 2910 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥
1702leidi 10441 . . . . . . . . 9 2 ≤ 2
17190, 2elicc2i 12110 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (1[,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 2))
1722, 4, 170, 171mpbir3an 1237 . . . . . . . 8 2 ∈ (1[,]2)
173 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 2 → (𝑦↑3) = (2↑3))
174173oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → ((𝑦↑3) / 3) = ((2↑3) / 3))
175 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → (3 · 𝑦) = (3 · 2))
176174, 175oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((2↑3) / 3) − (3 · 2)))
177 cu2 12825 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑3) = 8
178177oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑3) / 3) = (8 / 3)
179 3t2e6 11056 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
180178, 179oveq12i 6561 . . . . . . . . . . 11 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((8 / 3) − 6)
181 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
182 6cn 10979 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
183181, 182, 13, 14divdiri 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = ((2 / 3) + (6 / 3))
184 6p2e8 11046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 + 2) = 8
185182, 181, 184addcomli 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 6) = 8
186185oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = (8 / 3)
187182, 13, 181, 14divmuli 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
188179, 187mpbir 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 / 3) = 2
189188oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 3) + (6 / 3)) = ((2 / 3) + 2)
190183, 186, 1893eqtr3i 2640 . . . . . . . . . . . . 13 (8 / 3) = ((2 / 3) + 2)
191190oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 ((8 / 3) − 6) = (((2 / 3) + 2) − 6)
192181, 13, 14divcli 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
193 subsub3 10192 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6))
194192, 182, 181, 193mp3an 1416 . . . . . . . . . . . 12 ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6)
195191, 194eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . 11 ((8 / 3) − 6) = ((2 / 3) − (6 − 2))
196 4cn 10975 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
197 4p2e6 11039 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 2) = 6
198196, 181, 197addcomli 10107 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 4) = 6
199182, 181, 196, 198subaddrii 10249 . . . . . . . . . . . 12 (6 − 2) = 4
200199oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 ((2 / 3) − (6 − 2)) = ((2 / 3) − 4)
201180, 195, 2003eqtri 2636 . . . . . . . . . 10 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((2 / 3) − 4)
202176, 201syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((2 / 3) − 4))
203 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
204 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) − 4) ∈ V
205202, 203, 204fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (2 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4))
206172, 205ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4)
20790leidi 10441 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
20890, 2elicc2i 12110 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,]2) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 2))
20990, 207, 4, 208mpbir3an 1237 . . . . . . . 8 1 ∈ (1[,]2)
210 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 1 → (𝑦↑3) = (1↑3))
211210oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → ((𝑦↑3) / 3) = ((1↑3) / 3))
212 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → (3 · 𝑦) = (3 · 1))
213211, 212oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((1↑3) / 3) − (3 · 1)))
214 3z 11287 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
215 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
216214, 215ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1↑3) = 1
217216oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((1↑3) / 3) = (1 / 3)
218217, 86oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 (((1↑3) / 3) − (3 · 1)) = ((1 / 3) − 3)
219213, 218syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((1 / 3) − 3))
220 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) − 3) ∈ V
221219, 203, 220fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3))
222209, 221ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3)
223206, 222oveq12i 6561 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3))
224 sub4 10205 . . . . . . 7 ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)) → (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)))
225192, 196, 61, 13, 224mp4an 705 . . . . . 6 (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3))
22613, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
227 divsubdir 10600 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3)))
228181, 60, 226, 227mp3an 1416 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3))
229 2m1e1 11012 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
230229oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = (1 / 3)
231228, 230eqtr3i 2634 . . . . . . 7 ((2 / 3) − (1 / 3)) = (1 / 3)
232 3p1e4 11030 . . . . . . . 8 (3 + 1) = 4
233196, 13, 60, 232subaddrii 10249 . . . . . . 7 (4 − 3) = 1
234231, 233oveq12i 6561 . . . . . 6 (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)) = ((1 / 3) − 1)
235223, 225, 2343eqtri 2636 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − 1)
23613, 14dividi 10637 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
237236oveq2i 6560 . . . . 5 ((1 / 3) − (3 / 3)) = ((1 / 3) − 1)
238235, 237eqtr4i 2635 . . . 4 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − (3 / 3))
239 divsubdir 10600 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3)))
24060, 13, 226, 239mp3an 1416 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3))
241238, 240eqtr4i 2635 . . 3 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 − 3) / 3)
242 divneg 10598 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(2 / 3) = (-2 / 3))
243181, 13, 14, 242mp3an 1416 . . . 4 -(2 / 3) = (-2 / 3)
24413, 60negsubdi2i 10246 . . . . . 6 -(3 − 1) = (1 − 3)
24542negeqi 10153 . . . . . 6 -(3 − 1) = -2
246244, 245eqtr3i 2634 . . . . 5 (1 − 3) = -2
247246oveq1i 6559 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = (-2 / 3)
248243, 247eqtr4i 2635 . . 3 -(2 / 3) = ((1 − 3) / 3)
249241, 248eqtr4i 2635 . 2 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = -(2 / 3)
250162, 169, 2493eqtr3i 2640 1 ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  8c8 10953  0cn0 11169  cz 11254  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  cexp 12722  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  fldccnfld 19567  intcnt 20631  cnccncf 22487  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  citg 23193   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator