Theorem 3nn 11063

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 10957	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 11062	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 10909	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2684	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-1cn 9873

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957

This theorem is referenced by:  4nn  11064  3nn0  11187  3z  11287  ige3m2fz  12236  f1oun2prg  13512  sqrlem7  13837  bpoly4  14629  fsumcube  14630  ef01bndlem  14753  sin01bnd  14754  egt2lt3  14773  rpnnen2lem2  14783  rpnnen2lem3  14784  rpnnen2lem4  14785  rpnnen2lem9  14790  rpnnen2lem11  14792  3lcm2e6woprm  15166  3lcm2e6  15278  prmo3  15583  5prm  15653  6nprm  15654  7prm  15655  9nprm  15657  11prm  15660  13prm  15661  17prm  15662  19prm  15663  23prm  15664  prmlem2  15665  37prm  15666  43prm  15667  83prm  15668  139prm  15669  163prm  15670  317prm  15671  631prm  15672  1259lem5  15680  2503lem1  15682  2503lem2  15683  2503lem3  15684  4001lem4  15689  4001prm  15690  mulrndx  15821  mulrid  15822  rngstr  15823  ressmulr  15829  unifndx  15887  unifid  15888  lt6abl  18119  sramulr  19001  opsrmulr  19302  cnfldstr  19569  zlmmulr  19687  znmul  19709  ressunif  21876  tuslem  21881  tngmulr  22258  vitalilem4  23186  tangtx  24061  1cubrlem  24368  1cubr  24369  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic2  24375  cubic  24376  quartlem3  24386  quart  24388  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem1  24473  log2ublem2  24474  log2ub  24476  ppiublem1  24727  ppiub  24729  chtub  24737  bposlem3  24811  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  bposlem9  24817  lgsdir2lem5  24854  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumlema  24989  pntibndlem1  25078  pntibndlem2  25080  pntlema  25085  pntlemb  25086  pntleml  25100  tgcgr4  25226  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  usgraexmpldifpr  25928  constr3trllem3  26180  ex-cnv  26686  ex-rn  26689  ex-mod  26698  resvmulr  29166  fib4  29793  sinccvglem  30820  cnndvlem1  31698  mblfinlem3  32618  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  itg2addnc  32634  hlhilsmul  36251  rmydioph  36599  rmxdioph  36601  expdiophlem2  36607  expdioph  36608  amgm3d  37524  lhe4.4ex1a  37550  257prm  40011  fmtno4prmfac193  40023  fmtno4nprmfac193  40024  3ndvds4  40048  139prmALT  40049  31prm  40050  127prm  40053  41prothprm  40074  wtgoldbnnsum4prm  40218  bgoldbnnsum3prm  40220  bgoldbtbndlem1  40221  tgoldbach  40232  tgoldbachOLD  40239  upgr3v3e3cycl  41347