dcubic2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dcubic2 24371

Description: Reverse direction of dcubic 24373. Given a solution 𝑈 to the "substitution" quadratic equation 𝑋 = 𝑈 − 𝑀 / 𝑈, show that 𝑋 is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
dcubic2.x	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dcubic2	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))

Distinct variable groups: 𝑀,𝑟 𝑃,𝑟 𝜑,𝑟 𝑄,𝑟 𝑇,𝑟 𝑈,𝑟 𝑋,𝑟 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑟) 𝑁(𝑟)

**Proof of Theorem dcubic2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		dcubic.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3		dcubic.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 10680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
6		3nn0 11187	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
8	1, 2, 3, 7	expdivd 12884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
10		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)))
11		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
12	11	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)))
13		expcl 12740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
14	2, 6, 13	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
15		3z 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
17	2, 3, 16	expne0d 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) ≠ 0)
18	14, 17	dividd 10678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
19	12, 18	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)) = 1)
20	10, 19	sylan9eqr 2666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
21	9, 20	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1)
22		dcubic2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
23	1, 2, 3	divcan1d 10681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
24	23	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / 𝑈))
25	23, 24	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
26	22, 25	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
28		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((𝑈 / 𝑇)↑3))
29	28	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1))
30		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
31	30	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
32	30, 31	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
33	32	eqeq2d 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))))
34	29, 33	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))))
35	34	rspcev 3282	. . 3 ⊢ (((𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
36	5, 21, 27, 35	syl12anc 1316	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
37		dcubic.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
38		dcubic.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
39		3cn 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
41		3ne0 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
43	38, 40, 42	divcld 10680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
44	37, 43	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45		dcubic2.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
46	44, 1, 45	divcld 10680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
47	46	negcld 10258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
48	47, 2, 3	divcld 10680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
50	47, 2, 3, 7	expdivd 12884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)))
51	44, 1, 45	divnegd 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (-𝑀 / 𝑈))
52	51	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀 / 𝑈)↑3))
53	44	negcld 10258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
54	53, 1, 45, 7	expdivd 12884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
55	11	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
56		dcubic.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
57		dcubic.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
58		dcubic.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
59	58	halfcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
60	57, 59	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61		subsq 12834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
62	56, 60, 61	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
63	55, 62	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)))
64		dcubic.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
65	64	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)))
66	60	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
67		expcl 12740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
68	44, 6, 67	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
69	66, 68	pncan2d 10273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)) = (𝑀↑3))
70	63, 65, 69	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (𝑀↑3))
71	70	negeqd 10154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
72	56, 60	addcld 9938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
73	72, 14	mulneg1d 10362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)))
74		3nn 11063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
76		2nn 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
77		1nn0 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
78		1nn 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
79		2t1e2 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = 2
80	79	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
81		2p1e3 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + 1) = 3
82	80, 81	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
83		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
84	76, 77, 78, 82, 83	ndvdsi 14974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
86		oexpneg 14907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
87	44, 75, 85, 86	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
88	71, 73, 87	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (-𝑀↑3))
89	88	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
90	72	negcld 10258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
91		expcl 12740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
92	1, 6, 91	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
93	1, 45, 16	expne0d 12876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
94	90, 14, 92, 93	div23d 10717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
95	89, 94	eqtr3d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
96	52, 54, 95	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
97	96	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)) = (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)))
98	90, 92, 93	divcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
99	98, 14, 17	divcan4d 10686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
100	50, 97, 99	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
101	100	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
102		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
103	102	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)))
104	92, 93	dividd 10678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = 1)
105	103, 104	sylan9eqr 2666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = 1)
106	101, 105	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1)
107	46, 1	neg2subd 10288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
108	22, 107	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
109	108	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
110	47, 2, 3	divcan1d 10681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
111	110	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
112	44, 1, 45	divneg2d 10694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (𝑀 / -𝑈))
113	110, 112	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
114	113	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
115	114	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)))
116	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
117	1	negcld 10258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
118	117	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ∈ ℂ)
119	73, 71	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
121	90	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
122	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
123		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))
124	93	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) ≠ 0)
125	123, 124	eqnetrrd 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ≠ 0)
126	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ≠ 0)
127	121, 122, 125, 126	mulne0d 10558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) ≠ 0)
128	120, 127	eqnetrrd 2850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝑀↑3) ≠ 0)
129		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = (0↑3))
130		0exp 12757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
131	74, 130	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑3) = 0
132	129, 131	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = 0)
133	132	negeqd 10154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = -0)
134		neg0 10206	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
135	133, 134	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = 0)
136	135	necon3i 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀↑3) ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)
137	128, 136	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ≠ 0)
138	1, 45	negne0d 10269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ≠ 0)
139	138	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ≠ 0)
140	116, 118, 137, 139	ddcand 10700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)) = -𝑈)
141	115, 140	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = -𝑈)
142	111, 141	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))) = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
143	109, 142	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
144		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3))
145	144	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1))
146		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))
147	146	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))
148	146, 147	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
149	148	eqeq2d 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))))
150	145, 149	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))))
151	150	rspcev 3282	. . 3 ⊢ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
152	49, 106, 143, 151	syl12anc 1316	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
153	92	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
154	153	mulid2d 9937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝑈↑3)↑2)) = ((𝑈↑3)↑2))
155	58, 92	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
156	155, 68	negsubd 10277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3)) = ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)))
157	154, 156	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))))
158		dcubic2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
159		dcubic.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
160	38, 58, 159, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22	dcubic1lem 24370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
161	158, 160	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
162	157, 161	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0)
163		1cnd 9935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
164		ax-1ne0 9884	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
165	164	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
166	68	negcld 10258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑀↑3) ∈ ℂ)
167		2cn 10968	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
168		mulcl 9899	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
169	167, 56, 168	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
170		sqmul 12788	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
171	167, 56, 170	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
172	64	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝐺↑2)) = ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))))
173	167	sqcli 12806	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
174		mulcl 9899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
175	173, 66, 174	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
176		mulcl 9899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
177	173, 68, 176	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
178	175, 177	subnegd 10278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
179	57	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
180	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
181		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
183	58, 180, 182	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
184	179, 183	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
185	184	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = (𝑄↑2))
186		sqmul 12788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
187	167, 60, 186	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
188	185, 187	eqtr3d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
189	166	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · -(𝑀↑3)) = -(𝑀↑3))
190	189	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = (4 · -(𝑀↑3)))
191		4cn 10975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
192		mulneg2 10346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
193	191, 68, 192	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
194	190, 193	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -(4 · (𝑀↑3)))
195		sq2 12822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
196	195	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑2) · (𝑀↑3)) = (4 · (𝑀↑3))
197	196	negeqi 10153	. . . . . . . . 9 ⊢ -((2↑2) · (𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3))
198	194, 197	syl6eqr 2662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -((2↑2) · (𝑀↑3)))
199	188, 198	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))))
200	173	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
201	200, 66, 68	adddid 9943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
202	178, 199, 201	3eqtr4rd 2655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
203	171, 172, 202	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
204	163, 165, 58, 166, 92, 169, 203	quad2 24366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0 ↔ ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)))))
205	162, 204	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))))
206	79	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2)
207	58	negcld 10258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑄 ∈ ℂ)
208	207, 169, 180, 182	divdird 10718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)))
209	57	negeqd 10154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑁 = -(𝑄 / 2))
210	58, 180, 182	divnegd 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑄 / 2) = (-𝑄 / 2))
211	209, 210	eqtr2d 2645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑄 / 2) = -𝑁)
212	56, 180, 182	divcan3d 10685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺) / 2) = 𝐺)
213	211, 212	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 + 𝐺))
214	60	negcld 10258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
215	214, 56	addcomd 10117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 + -𝑁))
216	56, 60	negsubd 10277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + -𝑁) = (𝐺 − 𝑁))
217	215, 216	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 − 𝑁))
218	208, 213, 217	3eqtrd 2648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = (𝐺 − 𝑁))
219	206, 218	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = (𝐺 − 𝑁))
220	219	eqeq2d 2620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)))
221	79	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2)
222	211, 212	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 − 𝐺))
223	207, 169, 180, 182	divsubdird 10719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)))
224	56, 60	addcomd 10117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐺))
225	224	negeqd 10154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = -(𝑁 + 𝐺))
226	60, 56	negdi2d 10285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 + 𝐺) = (-𝑁 − 𝐺))
227	225, 226	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = (-𝑁 − 𝐺))
228	222, 223, 227	3eqtr4d 2654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = -(𝐺 + 𝑁))
229	221, 228	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = -(𝐺 + 𝑁))
230	229	eqeq2d 2620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
231	220, 230	orbi12d 742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))) ↔ ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))))
232	205, 231	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
233	36, 152, 232	mpjaodan 823	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∨ wo 382 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∃wrex 2897 class class class wbr 4583 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 − cmin 10145 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 4c4 10949 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ↑cexp 12722 ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822

This theorem is referenced by: dcubic 24373

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