MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 15667
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11188 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 11063 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11394 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 11192 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 11388 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11187 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11185 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11555 . . 3 3 < 10
9 8nn 11068 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 11554 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 11422 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11408 . 2 43 < 841
13 4nn 11064 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 11557 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 11422 . 2 1 < 43
16 2cn 10968 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 9922 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 10957 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 15605 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 11388 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 10908 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2610 . . . 4 14 = 14
247dec0h 11398 . . . 4 1 = 01
25 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 9921 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 6561 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 11030 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2632 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 11028 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 10975 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 11508 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 9926 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 11411 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11444 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 11073 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 14974 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 11078 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 15606 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 11067 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 11190 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 11528 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 11411 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 11091 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 14974 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 11394 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 11401 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2610 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2610 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 10102 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 6559 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 10102 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 11398 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2636 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11442 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 10429 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 11406 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 14974 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 11394 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2610 . . . 4 13 = 13
671dec0h 11398 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 11057 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 6559 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 11498 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2632 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11442 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 11422 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 14974 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 11394 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 11069 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 11177 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 11177 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2610 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 11398 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 11021 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 11524 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 11011 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 10907 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 10107 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11456 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11442 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 11549 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 11422 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 14974 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 11394 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 11065 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 11177 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2610 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 11398 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 11539 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 11491 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11456 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11442 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 11553 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 11422 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 14974 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 11394 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 11401 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 10907 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 9921 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2610 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11446 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 10991 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 11406 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 14974 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 15665 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  bpos1  24808
  Copyright terms: Public domain W3C validator