Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3trllem3 26180
 Description: Lemma for constr3trl 26187. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3trllem3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem constr3trllem3
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 1z 11284 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
31, 2pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
5 3simpa 1051 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
6 0ne1 10965 . . . . 5 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ≠ 1)
8 fprg 6327 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
9 0p1e1 11009 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
109eqcomi 2619 . . . . . . . 8 1 = (0 + 1)
1110oveq2i 6560 . . . . . . 7 (0...1) = (0...(0 + 1))
12 fzpr 12266 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
131, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
149preq2i 4216 . . . . . . 7 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
1511, 13, 143eqtri 2636 . . . . . 6 (0...1) = {0, 1}
1615feq2i 5950 . . . . 5 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
178, 16sylibr 223 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵})
184, 5, 7, 17syl3anc 1318 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵})
19 prssi 4293 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑉)
20193adant3 1074 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑉)
2118, 20fssd 5970 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉)
22 2nn0 11186 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
23 3nn0 11187 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
2422, 23pm3.2i 470 . . . . 5 (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
26 pm3.22 464 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐶𝑉𝐴𝑉))
27263adant2 1073 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐶𝑉𝐴𝑉))
28 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
29 2lt3 11072 . . . . . 6 2 < 3
3028, 29ltneii 10029 . . . . 5 2 ≠ 3
3130a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ≠ 3)
32 fprg 6327 . . . . 5 (((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (𝐶𝑉𝐴𝑉) ∧ 2 ≠ 3) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:{2, 3}⟶{𝐶, 𝐴})
33 constr3cycl.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
34 constr3cycl.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
3533, 34constr3lem2 26174 . . . . . . . . 9 (#‘𝐹) = 3
36 df-3 10957 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
3735, 36eqtri 2632 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = (2 + 1)
3837oveq2i 6560 . . . . . . 7 (2...(#‘𝐹)) = (2...(2 + 1))
39 2z 11286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
40 fzpr 12266 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
4236eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
4342preq2i 4216 . . . . . . 7 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
4438, 41, 433eqtri 2636 . . . . . 6 (2...(#‘𝐹)) = {2, 3}
4544feq2i 5950 . . . . 5 ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶{𝐶, 𝐴} ↔ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:{2, 3}⟶{𝐶, 𝐴})
4632, 45sylibr 223 . . . 4 (((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (𝐶𝑉𝐴𝑉) ∧ 2 ≠ 3) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶{𝐶, 𝐴})
4725, 27, 31, 46syl3anc 1318 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶{𝐶, 𝐴})
48 prssi 4293 . . . . 5 ((𝐶𝑉𝐴𝑉) → {𝐶, 𝐴} ⊆ 𝑉)
4948ancoms 468 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → {𝐶, 𝐴} ⊆ 𝑉)
50493adant2 1073 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {𝐶, 𝐴} ⊆ 𝑉)
5147, 50fssd 5970 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉)
52 1lt2 11071 . . 3 1 < 2
53 fzdisj 12239 . . 3 (1 < 2 → ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅)
5452, 53mp1i 13 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅)
55 fun 5979 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉 ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}):((0...1) ∪ (2...(#‘𝐹)))⟶(𝑉𝑉))
5634a1i 11 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉 ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅) → 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}))
57 3nn 11063 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
5835, 57eqeltri 2684 . . . . . 6 (#‘𝐹) ∈ ℕ
59 elnnuz 11600 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1))
6058, 59mpbi 219 . . . . 5 (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1)
61 0le1 10430 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → 0 ≤ 1)
63 eluzle 11576 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ (#‘𝐹))
64 eluzelz 11573 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
65 elfz 12203 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))))
662, 1, 65mp3an12 1406 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (1 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))))
6764, 66syl 17 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → (1 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))))
6862, 63, 67mpbir2and 959 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (0...(#‘𝐹)))
69 fzsplit 12238 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...(#‘𝐹)) → (0...(#‘𝐹)) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...(#‘𝐹))))
7068, 69syl 17 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → (0...(#‘𝐹)) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...(#‘𝐹))))
71 df-2 10956 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
7271oveq1i 6559 . . . . . . 7 (2...(#‘𝐹)) = ((1 + 1)...(#‘𝐹))
7372uneq2i 3726 . . . . . 6 ((0...1) ∪ (2...(#‘𝐹))) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...(#‘𝐹)))
7470, 73syl6eqr 2662 . . . . 5 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → (0...(#‘𝐹)) = ((0...1) ∪ (2...(#‘𝐹))))
7560, 74mp1i 13 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉 ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅) → (0...(#‘𝐹)) = ((0...1) ∪ (2...(#‘𝐹))))
76 unidm 3718 . . . . . 6 (𝑉𝑉) = 𝑉
7776eqcomi 2619 . . . . 5 𝑉 = (𝑉𝑉)
7877a1i 11 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉 ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅) → 𝑉 = (𝑉𝑉))
7956, 75, 78feq123d 5947 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉 ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}):((0...1) ∪ (2...(#‘𝐹)))⟶(𝑉𝑉)))
8055, 79mpbird 246 . 2 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉 ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}:(2...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ ((0...1) ∩ (2...(#‘𝐹))) = ∅) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
8121, 51, 54, 80syl21anc 1317 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  constr3trllem4  26181  constr3trl  26187
 Copyright terms: Public domain W3C validator