Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 15166
 Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 15278, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 10972 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 10968 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 9924 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 11287 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 11286 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 15152 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11230 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 704 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 470 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 10990 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2784 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 951 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 15062 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 10913 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 704 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 704 . . . . 5 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 10932 . . . 4 (3 gcd 2) ≠ 0
1815, 17pm3.2i 470 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19 3nn 11063 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 2nn 11062 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2119, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 15162 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2322eqcomd 2616 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2421, 23mp1i 13 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25 divmul3 10569 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
2624, 25mpbird 246 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
2726eqcomd 2616 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
283, 8, 18, 27mp3an 1416 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29 gcdcom 15073 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
304, 5, 29mp2an 704 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
32 gcdid 15086 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
34 abs1 13885 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
3533, 34eqtr2i 2633 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
36 gcdadd 15085 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
3731, 31, 36mp2an 704 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38 1p1e2 11011 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3938oveq2i 6560 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4035, 37, 393eqtri 2636 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
41 gcdcom 15073 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4231, 5, 41mp2an 704 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43 gcdadd 15085 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
445, 31, 43mp2an 704 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
4540, 42, 443eqtri 2636 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
46 1p2e3 11029 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
4746oveq2i 6560 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
4845, 47eqtr2i 2633 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
4930, 48eqtri 2632 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5049oveq2i 6560 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51 3t2e6 11056 . . . 4 (3 · 2) = 6
5251oveq1i 6559 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53 6cn 10979 . . . 4 6 ∈ ℂ
5453div1i 10632 . . 3 (6 / 1) = 6
5552, 54eqtri 2632 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
5628, 50, 553eqtri 2636 1 (3 lcm 2) = 6
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  6c6 10951  ℤcz 11254  abscabs 13822   gcd cgcd 15054   lcm clcm 15139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-lcm 15141 This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15198
 Copyright terms: Public domain W3C validator