Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  139prmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prmALT 40049
 Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 15669, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 14894 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 14894 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 15669), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 15669). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
139prmALT 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT
StepHypRef Expression
1 1nn0 11185 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11187 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11069 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11394 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11192 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11188 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11193 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11098 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11555 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11549 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11414 . 2 139 < 841
13 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11394 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11557 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11422 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11058 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 10963 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15605 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 3ndvds4 40048 . . . 4 ¬ 3 ∥ 4
211, 23dvdsdec 14892 . . . . 5 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
23 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 3p1e4 11030 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
2522, 23, 24addcomli 10107 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
2625breq2i 4591 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
2721, 26bitri 263 . . . 4 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ 4)
2820, 27mtbir 312 . . 3 ¬ 3 ∥ 13
291, 2, 83dvds2dec 14894 . . . 4 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
3025oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31 9cn 10985 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
32 4cn 10975 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
33 9p4e13 11498 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
3431, 32, 33addcomli 10107 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
3530, 34eqtri 2632 . . . . 5 ((1 + 3) + 9) = 13
3635breq2i 4591 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ 13)
3729, 36bitri 263 . . 3 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ 13)
3828, 37mtbir 312 . 2 ¬ 3 ∥ 139
39 4nn 11064 . . 3 4 ∈ ℕ
40 4lt5 11077 . . 3 4 < 5
41 5p4e9 11044 . . 3 (5 + 4) = 9
423, 39, 40, 41dec5dvds2 15607 . 2 ¬ 5 ∥ 139
43 7nn 11067 . . 3 7 ∈ ℕ
441, 8deccl 11388 . . 3 19 ∈ ℕ0
45 6nn 11066 . . 3 6 ∈ ℕ
46 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
47 6nn0 11190 . . . 4 6 ∈ ℕ0
48 eqid 2610 . . . 4 19 = 19
4947dec0h 11398 . . . 4 6 = 06
50 7nn0 11191 . . . 4 7 ∈ ℕ0
51 7cn 10981 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5251mulid1i 9921 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
53 6cn 10979 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
5453addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5552, 54oveq12i 6561 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56 7p6e13 11484 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5755, 56eqtri 2632 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
58 9t7e63 11544 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
5931, 51, 58mulcomli 9926 . . . . 5 (7 · 9) = 63
60 6p3e9 11047 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6153, 22, 60addcomli 10107 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6247, 2, 47, 59, 61decaddi 11455 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
631, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62decma2c 11444 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
64 6lt7 11086 . . 3 6 < 7
6543, 44, 45, 63, 64ndvdsi 14974 . 2 ¬ 7 ∥ 139
66 1nn 10908 . . . 4 1 ∈ ℕ
671, 66decnncl 11394 . . 3 11 ∈ ℕ
68 2nn0 11186 . . . 4 2 ∈ ℕ0
691, 68deccl 11388 . . 3 12 ∈ ℕ0
70 eqid 2610 . . . 4 12 = 12
7150dec0h 11398 . . . 4 7 = 07
721, 1deccl 11388 . . . 4 11 ∈ ℕ0
73 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7473addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7574oveq2i 6560 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7667nncni 10907 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7776mulid1i 9921 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
78 1p2e3 11029 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
791, 1, 68, 77, 78decaddi 11455 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8075, 79eqtri 2632 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
81 eqid 2610 . . . . 5 11 = 11
8273mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
83 00id 10090 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8482, 83oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8573addid1i 10102 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8684, 85eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8782oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88 7p2e9 11049 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
8951, 73, 88addcomli 10107 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
908dec0h 11398 . . . . . 6 9 = 09
9187, 89, 903eqtri 2636 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
921, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91decmac 11442 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
931, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92decma2c 11444 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
94 7lt10 11551 . . . 4 7 < 10
9566, 1, 50, 94declti 11422 . . 3 7 < 11
9667, 69, 43, 93, 95ndvdsi 14974 . 2 ¬ 11 ∥ 139
971, 46deccl 11388 . . 3 10 ∈ ℕ0
98 eqid 2610 . . . 4 10 = 10
993nn0cni 11181 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
10099mulid1i 9921 . . . . . 6 (13 · 1) = 13
101100, 83oveq12i 6561 . . . . 5 ((13 · 1) + (0 + 0)) = (13 + 0)
10299addid1i 10102 . . . . 5 (13 + 0) = 13
103101, 102eqtri 2632 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
10499mul01i 10105 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
105104oveq1i 6559 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
10631addid2i 10103 . . . . 5 (0 + 9) = 9
107105, 106, 903eqtri 2636 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1081, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107decma2c 11444 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
10966, 2, 8, 11declti 11422 . . 3 9 < 13
11014, 97, 4, 108, 109ndvdsi 14974 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1111, 43decnncl 11394 . . 3 17 ∈ ℕ
112 eqid 2610 . . . 4 17 = 17
1132dec0h 11398 . . . 4 3 = 03
114 5nn0 11189 . . . 4 5 ∈ ℕ0
115 8cn 10983 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
116115mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
117 5cn 10977 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
118117addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
119116, 118oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120 8p5e13 11491 . . . . 5 (8 + 5) = 13
121119, 120eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
122 8t7e56 11537 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
123115, 51, 122mulcomli 9926 . . . . 5 (7 · 8) = 56
124114, 47, 2, 123, 60decaddi 11455 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1251, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124decmac 11442 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
12666, 50, 2, 10declti 11422 . . 3 3 < 17
127111, 6, 13, 125, 126ndvdsi 14974 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1281, 4decnncl 11394 . . 3 19 ∈ ℕ
12951mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
130129, 54oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131130, 56eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
13247, 2, 47, 58, 61decaddi 11455 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1331, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132decmac 11442 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
134 6lt10 11552 . . . 4 6 < 10
13566, 8, 47, 134declti 11422 . . 3 6 < 19
136128, 50, 45, 133, 135ndvdsi 14974 . 2 ¬ 19 ∥ 139
13768, 13decnncl 11394 . . 3 23 ∈ ℕ
138 eqid 2610 . . . 4 23 = 23
139 2p1e3 11028 . . . . 5 (2 + 1) = 3
140 6t2e12 11517 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
14153, 73, 140mulcomli 9926 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1421, 68, 139, 141decsuc 11411 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
143 8p1e9 11035 . . . . 5 (8 + 1) = 9
144 6t3e18 11518 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
14553, 22, 144mulcomli 9926 . . . . 5 (3 · 6) = 18
1461, 6, 143, 145decsuc 11411 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
14768, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146decrmac 11453 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
148 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
149148, 2, 1, 15declti 11422 . . 3 1 < 23
150137, 47, 66, 147, 149ndvdsi 14974 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1515, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150prmlem2 15665 1 139 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator