Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itg2addnc.f2 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
2 | | rge0ssre 12151 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
3 | | fss 5969 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)
∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
4 | 1, 2, 3 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
5 | 4 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
6 | 5 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
ℝ) |
7 | | rpre 11715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ 𝑣 ∈
ℝ) |
8 | | 3re 10971 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℝ |
9 | | 3ne0 10992 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ≠
0 |
10 | 8, 9 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) |
11 | | redivcl 10623 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
12 | 11 | 3expb 1258 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
13 | 7, 10, 12 | sylancl 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
14 | 13 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
15 | | rpcnne0 11726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 ∈ ℂ
∧ 𝑣 ≠
0)) |
16 | | 3cn 10972 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℂ |
17 | 16, 9 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℂ ∧ 3 ≠ 0) |
18 | | divne0 10576 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ
∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣
/ 3) ≠ 0) |
19 | 15, 17, 18 | sylancl 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
20 | 19 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
21 | 6, 14, 20 | redivcld 10732 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
22 | | reflcl 12459 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
24 | | peano2rem 10227 |
. . . . . 6
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
26 | 25, 14 | remulcld 9949 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
27 | | i1ff 23249 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
28 | 27 | ad2antlr 759 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
29 | 28 | ffvelrnda 6267 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
30 | 26, 29 | ifcld 4081 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ) |
31 | | eqid 2610 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
32 | 30, 31 | fmptd 6292 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ) |
33 | | fzfi 12633 |
. . . . 5
⊢
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin |
34 | | ovex 6577 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
35 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
36 | 34, 35 | fnmpti 5935 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
37 | | dffn4 6034 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
38 | 36, 37 | mpbi 219 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
39 | | fofi 8135 |
. . . . 5
⊢
(((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin) |
40 | 33, 38, 39 | mp2an 704 |
. . . 4
⊢ ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin |
41 | | i1frn 23250 |
. . . . 5
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ∈
Fin) |
42 | 41 | ad2antlr 759 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ∈
Fin) |
43 | | unfi 8112 |
. . . 4
⊢ ((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
44 | 40, 42, 43 | sylancr 694 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
45 | | 3nn 11063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 3 ∈
ℕ |
46 | | nnrp 11718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (3 ∈
ℕ → 3 ∈ ℝ+) |
47 | 45, 46 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
48 | | rpdivcl 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
49 | 47, 48 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
50 | 49 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
51 | 1 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
52 | 51 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
(0[,)+∞)) |
53 | | elrege0 12149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))) |
54 | 52, 53 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(𝐹‘𝑥))) |
55 | 54 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) |
56 | 6, 50, 55 | divge0d 11788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) |
57 | | flge0nn0 12483 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
58 | 21, 56, 57 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
59 | 58 | nn0ge0d 11231 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
60 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
61 | | frn 5966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
ran ℎ ⊆
ℝ) |
62 | 27, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
63 | | i1f0rn 23255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ 0 ∈ ran ℎ) |
64 | | elex2 3189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
65 | 63, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
66 | | n0 3890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ran
ℎ ≠ ∅ ↔
∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
67 | 65, 66 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ≠
∅) |
68 | | fimaxre2 10848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ∈ Fin) →
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
69 | 62, 41, 68 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 ∈
ℝ ∀𝑦 ∈
ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
70 | 62, 67, 69 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
71 | 70 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
72 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
ℎ Fn
ℝ) |
73 | 27, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ Fn
ℝ) |
74 | | dffn3 5967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ) |
75 | 73, 74 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
76 | 75 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
77 | 76 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) |
78 | | suprub 10863 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) |
79 | 71, 77, 78 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
)) |
80 | | suprcl 10862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
81 | 62, 67, 69, 80 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
82 | 81 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
83 | | letr 10010 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
(ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
84 | 26, 29, 82, 83 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
85 | 25, 82, 50 | lemuldivd 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)))) |
86 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 1 ∈ ℝ) |
87 | 82, 14, 20 | redivcld 10732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
88 | 23, 86, 87 | lesubaddd 10503 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
89 | 85, 88 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
90 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((sup(ran ℎ, ℝ, < )
/ (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
91 | 87, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1)
∈ ℝ) |
92 | | ceige 12506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
93 | 91, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
94 | | ceicl 12504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
95 | 91, 94 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
96 | 95 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) |
97 | | letr 10010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
98 | 23, 91, 96, 97 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
99 | 93, 98 | mpan2d 706 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
100 | 89, 99 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
101 | 84, 100 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
102 | 79, 101 | mpan2d 706 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
103 | 102 | adantrd 483 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
104 | 103 | imp 444 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
105 | 21 | flcld 12461 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
106 | 105 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
107 | | 0zd 11266 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈
ℤ) |
108 | 95 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℤ) |
109 | | elfz 12203 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ
∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))) |
110 | 106, 107,
108, 109 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))) |
111 | 60, 104, 110 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
112 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) |
113 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
114 | 113 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) |
115 | 114 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
116 | 115 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
117 | 111, 112,
116 | sylancl 693 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
118 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
119 | 35 | elrnmpt 5293 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
120 | 118, 119 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
121 | 117, 120 | sylibr 223 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
122 | | elun1 3742 |
. . . . . . 7
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
123 | 121, 122 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
124 | | elun2 3743 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
125 | 77, 124 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
126 | 125 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
127 | 123, 126 | ifclda 4070 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
128 | 127, 31 | fmptd 6292 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
129 | | frn 5966 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
130 | 128, 129 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
131 | | ssfi 8065 |
. . 3
⊢ (((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
132 | 44, 130, 131 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
133 | 31 | mptpreima 5545 |
. . . 4
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} |
134 | | unrab 3857 |
. . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
135 | | inrab 3858 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} |
136 | 135 | ineq1i 3772 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
137 | | inrab 3858 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
138 | 136, 137 | eqtri 2632 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
139 | | unrab 3857 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} |
140 | 139 | ineq1i 3772 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
141 | | inrab 3858 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
142 | 140, 141 | eqtri 2632 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
143 | 138, 142 | uneq12i 3727 |
. . . . 5
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) |
144 | | eqcom 2617 |
. . . . . . . 8
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
145 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V |
146 | 118, 145 | ifex 4106 |
. . . . . . . . 9
⊢
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V |
147 | 146 | elsn 4140 |
. . . . . . . 8
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡) |
148 | | ianor 508 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
149 | | nne 2786 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
150 | 149 | orbi2i 540 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)) |
151 | 148, 150 | bitr2i 264 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
152 | 151 | anbi1i 727 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) |
153 | 152 | orbi2i 540 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
154 | | eqif 4076 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
155 | 153, 154 | bitr4i 266 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
156 | 144, 147,
155 | 3bitr4i 291 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
157 | 156 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ℝ →
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))) |
158 | 157 | rabbiia 3161 |
. . . . 5
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
159 | 134, 143,
158 | 3eqtr4ri 2643 |
. . . 4
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
160 | 133, 159 | eqtri 2632 |
. . 3
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
161 | | eldifi 3694 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) |
162 | | frn 5966 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ) |
163 | 32, 162 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ) |
164 | 163 | sseld 3567 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
165 | 161, 164 | syl5 33 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
166 | 165 | imdistani 722 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
167 | | rabiun 32552 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
168 | | cnvimarndm 5405 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ |
169 | | iunid 4511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ |
170 | 169 | imaeq2i 5383 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ) |
171 | | imaiun 6407 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
172 | 170, 171 | eqtr3i 2634 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
173 | 168, 172 | eqtr3i 2634 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
174 | | fdm 5964 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
dom ℎ =
ℝ) |
175 | 27, 174 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ dom ℎ =
ℝ) |
176 | 173, 175 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
177 | 176 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
178 | | rabeq 3166 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
179 | 177, 178 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
180 | 167, 179 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
181 | | fniniseg 6246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
182 | 27, 72, 181 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
183 | 182 | simplbda 652 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
184 | 183 | breq2d 4595 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
185 | 184 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
186 | | inrab2 3859 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
187 | | imassrn 5396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ |
188 | | dfdm4 5238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ |
189 | 188, 175 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ◡ℎ = ℝ) |
190 | 187, 189 | syl5sseq 3616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ) |
191 | | sseqin2 3779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩
(◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
192 | 190, 191 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
193 | | rabeq 3166 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
194 | 192, 193 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
195 | 186, 194 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
196 | 185, 195 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
197 | 196 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
198 | 25 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
199 | 62 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
200 | 199 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
201 | 200 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
202 | 49 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
203 | 198, 201,
202 | lemuldivd 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)))) |
204 | 23 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
205 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
206 | 13 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
207 | 19 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
208 | 201, 206,
207 | redivcld 10732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
209 | 204, 205,
208 | lesubaddd 10503 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
210 | 6 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
211 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
212 | 208, 211 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
213 | | reflcl 12459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
214 | 212, 213 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
215 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((⌊‘((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
216 | 214, 215 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
217 | 210, 216,
202 | ltdivmuld 11799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
218 | 21 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
219 | | flflp1 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
220 | 218, 212,
219 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
221 | 206, 216 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ) |
222 | 221 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ*) |
223 | | elioomnf 12139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑣 / 3) ·
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
224 | 222, 223 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
225 | 210 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
226 | 224, 225 | bitr4d 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
227 | 217, 220,
226 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
228 | 203, 209,
227 | 3bitrd 293 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
229 | 228 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
230 | 1 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
231 | 230 | cnveqd 5220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
232 | 231 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
233 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) |
234 | 233 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))} |
235 | 232, 234 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
236 | 235 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
237 | 229, 236 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
238 | | itg2addnc.f1 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
239 | | mbfima 23205 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
240 | 238, 4, 239 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
241 | 240 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
242 | 237, 241 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
243 | 62 | sseld 3567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
244 | 243 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
245 | 244 | imdistani 722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
246 | | i1fmbf 23248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ ∈
MblFn) |
247 | 246, 27 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
248 | 247 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
249 | | mbfimasn 23207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
250 | 249 | 3expa 1257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
251 | 248, 250 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
252 | 245, 251 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
253 | | inmbl 23117 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
254 | 242, 252,
253 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
255 | 197, 254 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
256 | 255 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
257 | | finiunmbl 23119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
258 | 42, 256, 257 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
259 | 180, 258 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
260 | | unrab 3857 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))} |
261 | 27 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
262 | 261 | cnveqd 5220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
263 | 262 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0))) |
264 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) |
265 | 264 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} |
266 | 263, 265 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}) |
267 | 262 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞))) |
268 | 264 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)} |
269 | 267, 268 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) |
270 | 266, 269 | uneq12d 3730 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})) |
271 | 27 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
272 | | 0re 9919 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℝ |
273 | | lttri2 9999 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
274 | 272, 273 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
275 | | ibar 524 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
276 | | andi 907 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
277 | | 0xr 9965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
ℝ* |
278 | | elioomnf 12139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0))) |
279 | | elioopnf 12138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
280 | 278, 279 | orbi12d 742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 ∈
ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
281 | 277, 280 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
282 | 276, 281 | bitr4i 266 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))) |
283 | 275, 282 | syl6bb 275 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
284 | 274, 283 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
285 | 271, 284 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
286 | 285 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}) |
287 | 260, 270,
286 | 3eqtr4a 2670 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) |
288 | | i1fima 23251 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom
vol) |
289 | | i1fima 23251 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
290 | | unmbl 23112 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧
(◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
291 | 288, 289,
290 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
292 | 287, 291 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
293 | 292 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
294 | | inmbl 23117 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
295 | 259, 293,
294 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
296 | 295 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
297 | 23 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
298 | 297 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
299 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
300 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
301 | 13 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
302 | 19 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
303 | 300, 301,
302 | redivcld 10732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
304 | 303 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ) |
305 | 298, 299,
304 | subadd2d 10290 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
306 | | eqcom 2617 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
307 | | recn 9905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈
ℂ) |
308 | 307 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
309 | 25 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
310 | 309 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
311 | 13 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
312 | 311 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ) |
313 | 308, 310,
312, 302 | divmul3d 10714 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
314 | 306, 313 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
315 | 305, 314 | bitr3d 269 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
316 | 315 | rabbidva 3163 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
317 | | imaundi 5464 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
318 | 231 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
319 | | zre 11258 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
320 | 319 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
321 | 13 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
322 | 320, 321 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
323 | 322 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
324 | | peano2z 11295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℤ) |
325 | 324 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
326 | 325 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
327 | 321, 326 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
328 | 327 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ*) |
329 | | zcn 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
330 | 329 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
331 | 311 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
332 | 330, 331 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
333 | 49 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
334 | 319 | ltp1d 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
335 | 334 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
336 | 320, 326,
333, 335 | ltmul2dd 11804 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
337 | 332, 336 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
338 | | snunioo 12169 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*
∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
339 | 323, 328,
337, 338 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
340 | 318, 339 | imaeq12d 5386 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
341 | 317, 340 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
342 | 233 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} |
343 | 4 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
344 | 343 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
345 | 344 | 3biant1d 1433 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
346 | 345 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
347 | 319 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
348 | 344 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
349 | 49 | ad4antlr 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
350 | 347, 348,
349 | lemuldivd 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
351 | 325 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
352 | 348, 351,
349 | ltdivmuld 11799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
353 | 352 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
354 | 350, 353 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
355 | 346, 354 | bitr3d 269 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
356 | | elico2 12108 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
357 | 322, 328,
356 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
358 | 357 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
359 | | eqcom 2617 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) |
360 | 21 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
361 | | flbi 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
362 | 360, 361 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
363 | 359, 362 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
364 | 355, 358,
363 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
365 | 364 | an32s 842 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
366 | 365 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
367 | 342, 366 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
368 | 341, 367 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
369 | 238 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn) |
370 | 4 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
371 | | mbfimasn 23207 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
372 | 369, 370,
322, 371 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
373 | | mbfima 23205 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
374 | 238, 4, 373 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
375 | 374 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
376 | | unmbl 23112 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) →
((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
377 | 372, 375,
376 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
378 | 368, 377 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
379 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
380 | 360 | flcld 12461 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
381 | 380 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
382 | 379, 381 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) |
383 | 382 | stoic1a 1688 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
384 | 383 | an32s 842 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
385 | 384 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
∀𝑥 ∈ ℝ
¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
386 | | rabeq0 3911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
387 | 385, 386 | sylibr 223 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅) |
388 | | 0mbl 23114 |
. . . . . . . . 9
⊢ ∅
∈ dom vol |
389 | 387, 388 | syl6eqel 2696 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
390 | 378, 389 | pm2.61dan 828 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
391 | 316, 390 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom
vol) |
392 | | inmbl 23117 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) →
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
393 | 296, 391,
392 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
394 | | rabiun 32552 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
395 | | rabeq 3166 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
396 | 176, 395 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
397 | 394, 396 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
398 | 397 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
399 | 184 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
400 | 399 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
401 | | inrab2 3859 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
402 | | rabeq 3166 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
403 | 192, 402 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
404 | 401, 403 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
405 | 400, 404 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
406 | 405 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
407 | | imaundi 5464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “
{((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3))}) ∪
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))(,)+∞))) |
408 | 13, 19 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ ((𝑣 / 3) ∈
ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠
0)) |
409 | | redivcl 10623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
410 | 409 | 3expb 1258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0)) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
411 | 408, 410 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
412 | 411 | ancoms 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
413 | 412 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
414 | 413, 211 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
415 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
416 | | reflcl 12459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
417 | 414, 415,
416 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
∈ ℝ) |
418 | 13 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
419 | 417, 418 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
420 | 419 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
421 | | pnfxr 9971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ +∞
∈ ℝ* |
422 | 421 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ +∞ ∈ ℝ*) |
423 | | ltpnf 11830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
424 | 419, 423 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
425 | | snunioo 12169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
426 | 420, 422,
424, 425 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
427 | 426 | imaeq2d 5385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
428 | 407, 427 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
429 | 231 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
430 | 233 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)} |
431 | 429, 430 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
432 | 431 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
433 | 414, 415 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
434 | 433 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
435 | | flflp1 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ
∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
436 | 434, 360,
435 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
437 | 419 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
438 | | elicopnf 12140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
439 | 437, 438 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
440 | 344 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
441 | 417 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
442 | 49 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
443 | 441, 344,
442 | lemuldivd 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
444 | 439, 440,
443 | 3bitr2d 295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
445 | 414 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
446 | 360, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
447 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
448 | 445, 446,
447 | ltadd1d 10499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
449 | 436, 444,
448 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
450 | 303, 447,
446 | ltaddsubd 10506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
451 | 449, 450 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
452 | 446, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
453 | 300, 452,
442 | ltdivmul2d 11800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
454 | 452, 301 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
455 | 300, 454 | ltnled 10063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
456 | 451, 453,
455 | 3bitrd 293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
457 | 456 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞)} = {𝑥
∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
458 | 428, 432,
457 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
459 | 238 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹 ∈
MblFn) |
460 | | mbfimasn 23207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
461 | 459, 343,
419, 460 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
462 | | mbfima 23205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
463 | 238, 4, 462 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
464 | 463 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
465 | | unmbl 23112 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
466 | 461, 464,
465 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
467 | 458, 466 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
468 | 245, 467 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
469 | | inmbl 23117 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
470 | 468, 252,
469 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
471 | 406, 470 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
472 | 471 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
473 | | finiunmbl 23119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
474 | 42, 472, 473 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
475 | 398, 474 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
476 | 262 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0})) |
477 | 264 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} |
478 | 145 | elsn 4140 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
479 | 478 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)) |
480 | 479 | rabbiia 3161 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
481 | 477, 480 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
482 | 476, 481 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) |
483 | | i1fima 23251 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol) |
484 | 482, 483 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
485 | 484 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
486 | | unmbl 23112 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
487 | 475, 485,
486 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
488 | 487 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
489 | 262 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡})) |
490 | 264 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} |
491 | 145 | elsn 4140 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
492 | | eqcom 2617 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
493 | 491, 492 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
494 | 493 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) |
495 | 494 | rabbiia 3161 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
496 | 490, 495 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
497 | 489, 496 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
498 | 497 | ad3antlr 763 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
499 | 498, 251 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
500 | | inmbl 23117 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
501 | 488, 499,
500 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
502 | | unmbl 23112 |
. . . . 5
⊢
(((({𝑥 ∈
ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
503 | 393, 501,
502 | syl2anc 691 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
504 | 166, 503 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
505 | 160, 504 | syl5eqel 2692 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
506 | | mblvol 23105 |
. . . 4
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
507 | 505, 506 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
508 | | eldifsn 4260 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0)) |
509 | 164 | anim1d 586 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ((𝑡 ∈ ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
510 | 508, 509 | syl5bi 231 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
511 | 510 | imdistani 722 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠
0))) |
512 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}) |
513 | 476, 477 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) |
514 | 512, 513 | ineq12d 3777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})) |
515 | | inrab 3858 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} |
516 | 514, 515 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
517 | 516 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
518 | 149 | biimpri 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) |
519 | 518 | intnand 953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
520 | 519 | iffalsed 4047 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥)) |
521 | | eqtr 2629 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
522 | 520, 521 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
523 | 522 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
524 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0) |
525 | 524 | necomd 2837 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡) |
526 | 523, 525 | eqnetrd 2849 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
527 | 526 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
528 | | orcom 401 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
529 | | ianor 508 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
530 | | imor 427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
531 | 528, 529,
530 | 3bitr4i 291 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
532 | 147 | necon3bbii 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
533 | 478, 532 | imbi12i 339 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
534 | 531, 533 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
535 | 527, 534 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
536 | 535 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
537 | | rabeq0 3911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
538 | 536, 537 | sylibr 223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
539 | 538 | ad2antll 761 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
{𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
540 | 517, 539 | eqtrd 2644 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅) |
541 | | imassrn 5396 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
542 | | dfdm4 5238 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
543 | 146, 31 | dmmpti 5936 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
544 | 542, 543 | eqtr3i 2634 |
. . . . . . . . 9
⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
545 | 541, 544 | sseqtri 3600 |
. . . . . . . 8
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ |
546 | | reldisj 3972 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))) |
547 | 545, 546 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
548 | 540, 547 | sylib 207 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
549 | | ffun 5961 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
Fun ℎ) |
550 | | difpreima 6251 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
551 | 549, 550 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
552 | 168, 174 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ) |
553 | 552 | difeq1d 3689 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
554 | 551, 553 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
555 | 27, 554 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
556 | 555 | ad3antlr 763 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
557 | 548, 556 | sseqtr4d 3605 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) |
558 | | imassrn 5396 |
. . . . . . 7
⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ |
559 | 558, 189 | syl5sseq 3616 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
560 | 559 | ad3antlr 763 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
561 | | i1fima 23251 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom
vol) |
562 | | mblvol 23105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol →
(vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
563 | 561, 562 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
564 | | neldifsn 4262 |
. . . . . . . 8
⊢ ¬ 0
∈ (ran ℎ ∖
{0}) |
565 | | i1fima2 23252 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ
∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
566 | 564, 565 | mpan2 703 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
567 | 563, 566 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
568 | 567 | ad3antlr 763 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
569 | | ovolsscl 23061 |
. . . . 5
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
570 | 557, 560,
568, 569 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
571 | 511, 570 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
572 | 507, 571 | eqeltrd 2688 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
573 | 32, 132, 505, 572 | i1fd 23254 |
1
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom
∫1) |