MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre2 10848
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2
StepHypRef Expression
1 0re 9919 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 rzal 4025 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0)
3 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑦𝑥𝑦 ≤ 0))
43ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0))
54rspcev 3282 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
61, 2, 5sylancr 694 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
76a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
8 fimaxre 10847 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
983expia 1259 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
10 ssrexv 3630 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
129, 11syld 46 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
137, 12pm2.61dne 2868 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  Fincfn 7841  cr 9814  0cc0 9815  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959
This theorem is referenced by:  fimaxre3  10849  isercolllem2  14244  fsumcvg3  14307  mertenslem2  14456  1arith  15469  ovolicc2lem4  23095  erdszelem8  30434  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem1  32616  itg2addnclem2  32632  ftc1anclem7  32661  ftc1anc  32663  totbndbnd  32758  prdsbnd  32762  uzfissfz  38483  fourierdlem31  39031  fourierdlem79  39078  hoicvr  39438
  Copyright terms: Public domain W3C validator