Theorem reflcl 12459

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 11358	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  ⌊cfl 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455

This theorem is referenced by:  fllep1  12464  fraclt1  12465  fracle1  12466  fracge0  12467  fllt  12469  flflp1  12470  flid  12471  flltnz  12474  flval3  12478  refldivcl  12486  fladdz  12488  flzadd  12489  flmulnn0  12490  flltdivnn0lt  12496  ceige  12506  ceim1l  12508  flleceil  12514  fleqceilz  12515  intfracq  12520  fldiv  12521  uzsup  12524  modvalr  12533  modfrac  12545  flmod  12546  intfrac  12547  modmulnn  12550  modcyc  12567  modadd1  12569  moddi  12600  modirr  12603  digit2  12859  digit1  12860  facavg  12950  rddif  13928  absrdbnd  13929  rexuzre  13940  o1fsum  14386  flo1  14425  isprm7  15258  opnmbllem  23175  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem3  23595  dvfsumlem4  23596  dvfsum2  23601  harmonicbnd4  24537  chtfl  24675  chpfl  24676  ppieq0  24702  ppiltx  24703  ppiub  24729  chpeq0  24733  chtub  24737  logfac2  24742  chpub  24745  logfacubnd  24746  logfaclbnd  24747  lgsquadlem1  24905  chtppilimlem1  24962  vmadivsum  24971  dchrisumlema  24977  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem3  24980  dchrmusum2  24983  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem3  25008  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  selberglem2  25035  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd2  25076  pntlemg  25087  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemk  25095  minvecolem4  27120  dnicld1  31632  dnibndlem2  31639  dnibndlem3  31640  dnibndlem4  31641  dnibndlem5  31642  dnibndlem7  31644  dnibndlem8  31645  dnibndlem9  31646  dnibndlem10  31647  dnibndlem11  31648  dnibndlem13  31650  dnibnd  31651  knoppcnlem4  31656  ltflcei  32567  leceifl  32568  opnmbllem0  32615  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  hashnzfzclim  37543  lefldiveq  38446  fourierdlem4  39004  fourierdlem26  39026  fourierdlem47  39046  fourierdlem65  39064  flsubz  42106  dignn0flhalflem2  42208