MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmbf 23248
Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fmbf (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf
StepHypRef Expression
1 isi1f 23247 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
21simplbi 475 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031  wcel 1977  cdif 3537  {csn 4125  ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  cima 5041  wf 5800  cfv 5804  Fincfn 7841  cr 9814  0cc0 9815  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  1citg1 23190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-sum 14265  df-itg1 23195
This theorem is referenced by:  i1fima  23251  i1fadd  23268  mbfmullem2  23297  itg2monolem1  23323  itg2i1fseq  23328  i1fibl  23380  itg2addnclem2  32632  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem8  32662
  Copyright terms: Public domain W3C validator