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Theorem ftc1anclem8 32662
 Description: Lemma for ftc1anc 32663. (Contributed by Brendan Leahy, 29-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1anc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1anc.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1anc.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1anc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem8 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑔,𝑟,𝑢,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1anclem8
StepHypRef Expression
1 ftc1anc.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1anc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1anc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1anc.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1anc.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1anc.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1anc.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1anclem7 32661 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)))
10 simplll 794 . . . 4 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)))
11 3simpa 1051 . . . 4 ((𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤) → (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
12 ioossre 12106 . . . . . . . . 9 (𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ)
14 rembl 23115 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ dom vol)
16 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ V
17 c0ex 9913 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1816, 17ifex 4106 . . . . . . . . 9 if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
20 eldifn 3695 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤))
2221iffalsed 4047 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
23 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2423mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
25 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2724, 26eqtr4i 2635 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤))
28 i1ff 23249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
3029recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
31 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
32 i1ff 23249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
3332ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
3433recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
35 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
3631, 34, 35sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
37 addcl 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
3830, 36, 37syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
3938anandirs 870 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
40 reex 9906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
4229adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
4336adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
4428feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
4640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
4731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
48 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i))
5032feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑡)))
5146, 47, 33, 49, 50offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · (𝑔𝑡))))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · (𝑔𝑡))))
5341, 42, 43, 45, 52offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
54 absf 13925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
5655feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
57 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
5839, 53, 56, 57fmptco 6303 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
59 ftc1anclem3 32657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ dom ∫1)
6058, 59eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ dom ∫1)
61 i1fmbf 23248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn)
63 ioombl 23140 . . . . . . . . . . 11 (𝑢(,)𝑤) ∈ dom vol
64 mbfres 23217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn ∧ (𝑢(,)𝑤) ∈ dom vol) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) ∈ MblFn)
6562, 63, 64sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) ∈ MblFn)
6627, 65syl5eqel 2692 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6766adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6813, 15, 19, 22, 67mbfss 23219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6968adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
7039abscld 14023 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
7139absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
72 elrege0 12149 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
7370, 71, 72sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞))
74 0e0icopnf 12153 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,)+∞)
75 ifcl 4080 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
7673, 74, 75sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
77 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
7876, 77fmptd 6292 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
7978ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
8070rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ*)
81 elxrge0 12152 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
8280, 71, 81sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞))
83 0e0iccpnf 12154 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
84 ifcl 4080 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8582, 83, 84sylancl 693 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8685, 77fmptd 6292 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8786ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
88 ifcl 4080 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8982, 83, 88sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
90 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
9189, 90fmptd 6292 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
92 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
93 frn 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
94 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
9593, 94syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℂ)
96 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
9754, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs Fn ℂ
98 fnco 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn ℂ ∧ 𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9997, 98mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
10092, 95, 99syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
10128, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
103 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:ℝ⟶ℝ → 𝑔 Fn ℝ)
104 frn 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔:ℝ⟶ℝ → ran 𝑔 ⊆ ℝ)
105104, 94syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:ℝ⟶ℝ → ran 𝑔 ⊆ ℂ)
106 fnco 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn ℂ ∧ 𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10797, 106mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
108103, 105, 107syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10932, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
111 inidm 3784 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11228adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
113 fvco3 6185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑡) = (abs‘(𝑓𝑡)))
114112, 113sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑡) = (abs‘(𝑓𝑡)))
11532adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
116 fvco3 6185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑔)‘𝑡) = (abs‘(𝑔𝑡)))
117115, 116sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑔)‘𝑡) = (abs‘(𝑔𝑡)))
118102, 110, 41, 41, 111, 114, 117offval 6802 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ 𝑓) ∘𝑓 + (abs ∘ 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
11930addid1d 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + 0) = (𝑓𝑡))
120119mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
12140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
12217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ V)
12331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i))
125 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ × {0}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0)
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
127121, 123, 122, 124, 126offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · 0)))
128 it0e0 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · 0) = 0
129128mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0)
130127, 129syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
131121, 29, 122, 44, 130offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + 0)))
132120, 131, 443eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0}))) = 𝑓)
133132coeq2d 5206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) = (abs ∘ 𝑓))
134 i1f0 23260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
135 ftc1anclem3 32657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) ∈ dom ∫1)
136134, 135mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) ∈ dom ∫1)
137133, 136eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
139 coeq2 5202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (abs ∘ 𝑓) = (abs ∘ 𝑔))
140139eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → ((abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1 ↔ (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1))
141140, 137vtoclga 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
143138, 142i1fadd 23268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ 𝑓) ∘𝑓 + (abs ∘ 𝑔)) ∈ dom ∫1)
144118, 143eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1)
14530abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
14630absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝑓𝑡)))
147 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑓𝑡))))
148145, 146, 147sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
14934abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ)
15034absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝑔𝑡)))
151 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑔𝑡))))
152149, 150, 151sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
153 ge0addcl 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ∧ (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
154148, 152, 153syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
155154anandirs 870 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
156 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
157155, 156fmptd 6292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
158 0plef 23245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
159157, 158sylib 207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
160159simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
161 itg2itg1 23309 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) = (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
162 itg1cl 23258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
164161, 163eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
165144, 160, 164syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
166 icossicc 12131 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
167 fss 5969 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
168157, 166, 167sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
169 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
170 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
17170, 169, 170sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
172 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
173145, 149, 172syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
174173anandirs 870 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
17570leidd 10473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
176 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
177 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
178176, 177ifboth 4074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
179175, 71, 178syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
180 abstri 13918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
18130, 36, 180syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
182181anandirs 870 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
183 absmul 13882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))))
18431, 34, 183sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))))
185 absi 13874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs‘i) = 1
186185oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))) = (1 · (abs‘(𝑔𝑡)))
187184, 186syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (1 · (abs‘(𝑔𝑡))))
188149recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
189188mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (1 · (abs‘(𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
190187, 189eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
191190adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
192191oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))) = ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
193182, 192breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
194171, 70, 174, 179, 193letrd 10073 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
195194ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
196 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
197 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
19841, 171, 174, 196, 197ofrfval2 6813 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
199195, 198mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
200 itg2le 23312 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
20191, 168, 199, 200syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
202 itg2lecl 23311 . . . . . . . . 9 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
20391, 165, 201, 202syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
204203ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
20591ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
206 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
207 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
208 elioore 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → 𝑡 ∈ ℝ)
209208, 175sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
210209adantll 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
211210adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2122rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2133rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
214212, 213jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
215 df-icc 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑡 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑡𝑡𝑦)})
216215elixx3g 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑢𝑢𝐵)))
217216simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴𝑢𝑢𝐵))
218217simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴𝑢)
219215elixx3g 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑤𝑤𝐵)))
220219simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴𝑤𝑤𝐵))
221220simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑤𝐵)
222218, 221anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑢𝑤𝐵))
223 ioossioo 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑢𝑤𝐵)) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
224214, 222, 223syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
226224, 225sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ 𝐷)
227226sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 𝑡𝐷)
228 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
229227, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
230229adantllr 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
231211, 230breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
232 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
233 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
2346sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → 𝑡 ∈ ℝ)
235234adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 𝑡 ∈ ℝ)
23671adantll 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
237235, 236syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
238 0le0 10987 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ≤ 0)
240232, 233, 237, 239ifbothda 4073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
241240ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
242206, 207, 231, 241ifbothda 4073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
243242ralrimivw 2950 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
24440a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
24616, 17ifex 4106 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V
247246a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
248 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
249 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
250244, 245, 247, 248, 249ofrfval2 6813 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
251250ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
252243, 251mpbird 246 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
253 itg2le 23312 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))))
25487, 205, 252, 253syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))))
255 itg2lecl 23311 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
25687, 204, 254, 255syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
2578ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
258257adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
259227, 258syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
260259adantllr 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
261208, 39sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
262261adantll 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
263262adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
264260, 263subcld 10271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
265264abscld 14023 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
266264absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
267 elrege0 12149 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
268265, 266, 267sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,)+∞))
26974a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
270268, 269ifclda 4070 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
271270adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
272 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
273271, 272fmptd 6292 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
274265rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
275 elxrge0 12152 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
276274, 266, 275sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞))
27783a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
278276, 277ifclda 4070 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
279278adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
280279, 272fmptd 6292 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
281 recncf 22513 . . . . . . . . . . . . 13 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
282 prid1g 4239 . . . . . . . . . . . . 13 (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) → ℜ ∈ {ℜ, ℑ})
283281, 282ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ℜ ∈ {ℜ, ℑ}
284 ftc1anclem2 32656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ ℜ ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
285283, 284mp3an3 1405 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
2868, 7, 285syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
287 imcncf 22514 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
288 prid2g 4240 . . . . . . . . . . . . 13 (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) → ℑ ∈ {ℜ, ℑ})
289287, 288ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ℑ ∈ {ℜ, ℑ}
290 ftc1anclem2 32656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ ℑ ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
291289, 290mp3an3 1405 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
2928, 7, 291syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
293286, 292readdcld 9948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
294293ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
295204, 294readdcld 9948 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) ∈ ℝ)
296 ge0addcl 12155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
297296adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
298 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
29973, 74, 298sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
300299, 90fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
301300adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
302296adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
303257recld 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
304303recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
305304abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
306304absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))))
307 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡)))))
308305, 306, 307sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
30974a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ (0[,)+∞))
310308, 309ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
311310adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
312 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
313311, 312fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
314257imcld 13783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
315314recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
316315abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
317315absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
318 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
319316, 317, 318sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
320319, 309ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
321320adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
322 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))
323321, 322fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
324302, 313, 323, 244, 244, 111off 6810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))):ℝ⟶(0[,)+∞))
325324adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))):ℝ⟶(0[,)+∞))
32640a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ V)
327297, 301, 325, 326, 326, 111off 6810 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
328 fss 5969 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
329327, 166, 328sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
330329adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
331 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ ℝ*)
333274, 332ifclda 4070 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
334257adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
33539adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
336235, 335syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
337334, 336subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
338337abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
339338rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
340331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ*)
341339, 340ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
342341adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
343336abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
344 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ)
345343, 344ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
346 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ)
347305, 346ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
348316, 346ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
349347, 348readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ ℝ)
350349adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ ℝ)
351345, 350readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
352351rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ*)
353352adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ*)
354 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
355 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
356227adantllr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 𝑡𝐷)
357338leidd 10473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
358357adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
359 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
360359adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
361358, 360breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
362356, 361syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
363 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
364 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
365337absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
366363, 364, 365, 239ifbothda 4073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
367366ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
368354, 355, 362, 367ifbothda 4073 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
369257negcld 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → -(𝐹𝑡) ∈ ℂ)
370369adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → -(𝐹𝑡) ∈ ℂ)
371336, 370addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
372371abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
373369abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
374373adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
375343, 374readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
376305, 316readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
377376adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
378343, 377readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
379336, 370abstrid 14043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))))
380 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
38131, 315, 380sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
382304, 381abstrid 14043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
383257absnegd 14036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
384257replimd 13785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) = ((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))))
385384fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(𝐹𝑡)) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
386383, 385eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
387 absmul 13882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
38831, 315, 387sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
389185oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
390388, 389syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
391316recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
392391mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
393390, 392eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) = (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))))
394393oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
395382, 386, 3943brtr4d 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
396395adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
397374, 377, 343, 396leadd2dd 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
398372, 375, 378, 379, 397letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
399334, 336abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡))))
400359adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
401336, 334negsubd 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡)) = (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡)))
402401fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡))))
403399, 400, 4023eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))))
404 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
405404adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
406398, 403, 4053brtr4d 4615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
407406ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0)))
408238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → 0 ≤ 0)
409 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = 0)
410 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = 0)
411408, 409, 4103brtr4d 4615 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
412407, 411pm2.61d1 170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
413 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) = (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))))
414 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
415413, 414oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
416228, 415oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
417416, 404eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
418 00id 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
419418oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + (0 + 0)) = (0 + 0)
420419, 418eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (0 + 0)) = 0
421 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
422 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) = 0)
423 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) = 0)
424422, 423oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (0 + 0))
425421, 424oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = (0 + (0 + 0)))
426420, 425, 4103eqtr4a 2670 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
427417, 426pm2.61i 175 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0)
428412, 427syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
429428adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
430333, 342, 353, 368, 429xrletrd 11869 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
431430ralrimivw 2950 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
432 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ V
433432, 17ifex 4106 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ V
434433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ V)
435 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ V
436435a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ V)
437 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
438 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ V
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ V)
440347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
441348adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
442 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)))
443 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))
444244, 440, 441, 442, 443offval2 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
445244, 247, 439, 249, 444offval2 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
446244, 434, 436, 437, 445ofrfval2 6813 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
447446ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
448431, 447mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
449 itg2le 23312 . . . . . . . . 9 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
450280, 330, 448, 449syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
4516adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
452246a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
453 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑡𝐷)
454453iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
455454adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
456 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · (𝑔𝑡)) ∈ V
457456a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ V)
45841, 42, 457, 45, 52offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
45939, 458, 56, 57fmptco 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
460459reseq1d 5316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ 𝐷))
4616resmptd 5371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
462460, 461sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
463228mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
464462, 463syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
465 i1fmbf 23248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn)
46659, 465syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn)
467 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐷)
4688, 467syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
469 iblmbf 23340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
470 mbfdm 23201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
4717, 469, 4703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
472468, 471eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ dom vol)
473 mbfres 23217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn ∧ 𝐷 ∈ dom vol) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) ∈ MblFn)
474466, 472, 473syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) ∈ MblFn)
475464, 474eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
476451, 15, 452, 455, 475mbfss 23219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
477203adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
478 0cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℂ)
479304, 478ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℂ)
480479adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℂ)
481 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)))
48254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
483482feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
484 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) → (abs‘𝑥) = (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)))
485 fvif 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0))
486 abs0 13873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs‘0) = 0
487 ifeq2 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘0) = 0 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
488486, 487ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)
489485, 488eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)
490484, 489syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) → (abs‘𝑥) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
491480, 481, 483, 490fmptco 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)))
492303, 346ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
493492adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
494 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))
495493, 494fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)):ℝ⟶ℝ)
49614a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
497492adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
498453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑡𝐷)
499498iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) = 0)
500 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) = (ℜ‘(𝐹𝑡)))
501500mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡)))
5028feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
5037, 469syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
504502, 503eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
505257ismbfcn2 23212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)))
506504, 505mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn))
507506simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
508501, 507syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn)
5096, 496, 497, 499, 508mbfss 23219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn)
510 ftc1anclem1 32655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ MblFn)
511495, 509, 510syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ MblFn)
512491, 511eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ MblFn)
513512, 313, 286, 323, 292itg2addnc 32634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
514513, 293eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
515514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
516476, 301, 477, 325, 515itg2addnc 32634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
517513adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
518517oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
519516, 518eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
520519adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
521450, 520breqtrd 4609 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
522 itg2lecl 23311 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ∈ ℝ)
523280, 295, 521, 522syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ∈ ℝ)
52469, 79, 256, 273, 523itg2addnc 32634 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))))
525244, 245, 434, 248, 437offval2 6812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
526 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) → ((if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) ↔ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
527 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) → ((if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0 ↔ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
528 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
52923, 528oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
530529adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
531 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
532 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = 0)
533531, 532oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (0 + 0))
534533, 418syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0)
535534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0)
536526, 527, 530, 535ifbothda 4073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0))
537536mpteq2dv 4673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
538525, 537eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
539538ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
540 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1))
541261abscld 14023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
542541recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
543540, 542sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
544265recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℂ)
545543, 544addcomd 10117 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) = ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
546545ifeq1da 4066 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
547546mpteq2dv 4673 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
548539, 547eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
549548fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
550524, 549eqtr3d 2646 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
55110, 11, 550syl2an 493 . . 3 ((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
552551adantr 480 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
553 rpcn 11717 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
5545532halvesd 11155 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
555554ad3antlr 763 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
5569, 552, 5553brtr3d 4614 1 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) < 𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193  0𝑝c0p 23242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  ftc1anc  32663
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