Theorem ftc1anclem2 32656

Description: Lemma for ftc1anc 32663- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐴   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4145	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ {ℜ, ℑ} → (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ))
2		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))
3	2	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℜ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
4	3	ifeq1d 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℜ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
5	4	mpteq2dv 4673	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
6	5	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℜ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
8		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
9	8	recld 13782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
11		simpl 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
13		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
14	12, 13	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
15	8	iblcn 23371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)))
16	15	biimpa 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
17	14, 16	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
18	17	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
19	9	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
20		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
21		absf 13925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs:ℂ⟶ℝ)
23	22	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
24		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
25	19, 20, 23, 24	fmptco 6303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
27		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))
28	9, 27	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
30		iblmbf 23340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ MblFn)
32	12, 31	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
33	8	ismbfcn2 23212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)))
34	33	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
35	32, 34	syldan 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
36	35	simpld 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
37		ftc1anclem1 32655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
38	29, 36, 37	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
39	26, 38	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
40	10, 18, 39	iblabsnc 32644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
41	19	abscld 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
42	19	absge0d 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
43	41, 42	iblpos 23365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
45	40, 44	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
46	45	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
48	7, 47	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
49		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))
50	49	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℑ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
51	50	ifeq1d 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℑ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
52	51	mpteq2dv 4673	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
53	52	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℑ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
54	53	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
55	8	imcld 13783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
57	56	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
58	17	simprd 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
59		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
60		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
61	56, 59, 23, 60	fmptco 6303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
63		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))
64	55, 63	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
66	35	simprd 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
67		ftc1anclem1 32655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
68	65, 66, 67	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
69	62, 68	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
70	57, 58, 69	iblabsnc 32644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
71	56	abscld 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
72	56	absge0d 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
73	71, 72	iblpos 23365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
75	70, 74	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
76	75	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
77	76	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
78	54, 77	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
79	48, 78	jaodan 822	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
80	1, 79	sylan2 490	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
81	80	3impa 1251	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  MblFncmbf 23189  ∫₂citg2 23191  𝐿¹cibl 23192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-0p 23243

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  32662