Theorem imcld 13783

Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
imcld	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		imcl 13699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℑcim 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14159  resincl  14709  sin01bnd  14754  recld2  22425  mbfeqa  23216  mbfss  23219  mbfmulc2re  23221  mbfadd  23234  mbfmulc2  23236  mbflim  23241  mbfmul  23299  iblcn  23371  itgcnval  23372  itgre  23373  itgim  23374  iblneg  23375  itgneg  23376  ibladd  23393  itgadd  23397  iblabs  23401  itgmulc2  23406  aaliou2b  23900  efif1olem3  24094  eff1olem  24098  logimclad  24123  abslogimle  24124  logrnaddcl  24125  lognegb  24140  logcj  24156  efiarg  24157  cosargd  24158  argregt0  24160  argrege0  24161  argimgt0  24162  argimlt0  24163  logimul  24164  abslogle  24168  tanarg  24169  logcnlem2  24189  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  logcnlem5  24192  logcn  24193  dvloglem  24194  logf1o2  24196  efopnlem1  24202  efopnlem2  24203  cxpsqrtlem  24248  abscxpbnd  24294  ang180lem2  24340  lawcos  24346  isosctrlem1  24348  isosctrlem2  24349  asinneg  24413  asinsinlem  24418  atanlogaddlem  24440  atanlogsublem  24442  atanlogsub  24443  basellem3  24609  sqsscirc2  29283  ibladdnc  32637  itgaddnc  32640  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  itgmulc2nc  32648  bddiblnc  32650  ftc1anclem2  32656  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem8  32662  cntotbnd  32765  isosctrlem1ALT  38192  dstregt0  38434  sigarim  39689