Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Choice-free analogue of itgadd 23397. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23340 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 23340 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 23210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10readdd 13802 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
1211itgeq2dv 23354 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
135recld 13782 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
145iblcn 23371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1710recld 13782 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
1810iblcn 23371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 9938 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
22 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
23 ref 13700 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2524feqmptd 6159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)))
2721, 22, 25, 26fmptco 6303 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))))
2811mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
2927, 28eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
31 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))
3221, 31fmptd 6292 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ)
33 ismbfcn 23204 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3530, 34mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn))
3635simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
3729, 36eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))) ∈ MblFn)
3813, 16, 17, 20, 37, 13, 17itgaddnclem2 32639 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
3912, 38eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
405, 10imaddd 13803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
4140itgeq2dv 23354 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
425imcld 13783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4315simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4410imcld 13783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4519simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
46 imf 13701 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ:ℂ⟶ℝ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4847feqmptd 6159 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
49 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)))
5021, 22, 48, 49fmptco 6303 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))))
5140mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5250, 51eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5335simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
5452, 53eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))) ∈ MblFn)
5542, 43, 44, 45, 54, 42, 44itgaddnclem2 32639 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5641, 55eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5756oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
58 ax-icn 9874 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
5958a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
6042, 43itgcl 23356 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6144, 45itgcl 23356 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
6259, 60, 61adddid 9943 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6357, 62eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6439, 63oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
6513, 16itgcl 23356 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6617, 20itgcl 23356 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
67 mulcl 9899 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
6858, 60, 67sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
69 mulcl 9899 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
7058, 61, 69sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
7165, 66, 68, 70add4d 10143 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7264, 71eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
73 ovex 6577 . . . 4 (𝐵 + 𝐶) ∈ V
7473a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
754, 1, 9, 6, 30ibladdnc 32637 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
7674, 75itgcnval 23372 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
774, 1itgcnval 23372 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
789, 6itgcnval 23372 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
7977, 78oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
8072, 76, 793eqtr4d 2654 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  ℜcre 13685  ℑcim 13686  MblFncmbf 23189  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  itgsubnc  32642  itgmulc2nc  32648  ftc1cnnclem  32653
 Copyright terms: Public domain W3C validator