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Theorem itgaddnc 29639
Description: Choice-free analogue of itgadd 21959. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgaddnc  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 21902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 21772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 iblmbf 21902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 21772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
115, 10readdd 12997 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
1211itgeq2dv 21916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x )
135recld 12977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
145iblcn 21933 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
151, 14mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1615simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
1710recld 12977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
1810iblcn 21933 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L^1 ) ) )
196, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L^1 ) )
2019simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e.  L^1 )
215, 10addcld 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
22 eqidd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
23 ref 12895 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
2524feqmptd 5911 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re
`  y ) ) )
26 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  ( B  +  C
) ) )
2721, 22, 25, 26fmptco 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C ) ) ) )
2811mpteq2dva 4526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
2927, 28eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
31 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3221, 31fmptd 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
33 ismbfcn 21766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3530, 34mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
)
3635simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
3729, 36eqeltrrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )  e. MblFn )
3813, 16, 17, 20, 37, 13, 17itgaddnclem2 29638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
3912, 38eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
405, 10imaddd 12998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
4140itgeq2dv 21916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x )
425imcld 12978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4315simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
4410imcld 12978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
4519simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e.  L^1 )
46 imf 12896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im
`  y ) ) )
49 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  ( B  +  C
) ) )
5021, 22, 48, 49fmptco 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C ) ) ) )
5140mpteq2dva 4526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5335simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
5452, 53eqeltrrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )  e. MblFn )
5542, 43, 44, 45, 54, 42, 44itgaddnclem2 29638 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5641, 55eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5756oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( Im `  B
)  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
58 ax-icn 9540 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
6042, 43itgcl 21918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
6144, 45itgcl 21918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  C )  _d x  e.  CC )
6259, 60, 61adddid 9609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6357, 62eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6439, 63oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  S. A
( Re `  C
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
6513, 16itgcl 21918 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
6617, 20itgcl 21918 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  C )  _d x  e.  CC )
67 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
6858, 60, 67sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
69 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  C )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7058, 61, 69sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7165, 66, 68, 70add4d 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A ( Re
`  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
7264, 71eqtrd 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
73 ovex 6300 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
7473a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
754, 1, 9, 6, 30ibladdnc 29636 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
7674, 75itgcnval 21934 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( B  +  C
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x ) ) )
774, 1itgcnval 21934 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
789, 6itgcnval 21934 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A ( Re `  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
7977, 78oveq12d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
8072, 76, 793eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4498    o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   Recre 12880   Imcim 12881  MblFncmbf 21751   L^1cibl 21754   S.citg 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-itg 21760  df-0p 21805
This theorem is referenced by:  itgsubnc  29641  itgmulc2nc  29647  ftc1cnnclem  29652
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