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Theorem itgaddnc 28455
Description: Choice-free analogue of itgadd 21305. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgaddnc  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 21248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 21118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 iblmbf 21248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 21118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
115, 10readdd 12706 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
1211itgeq2dv 21262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x )
135recld 12686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
145iblcn 21279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
151, 14mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1615simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
1710recld 12686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
1810iblcn 21279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L^1 ) ) )
196, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L^1 ) )
2019simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e.  L^1 )
215, 10addcld 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
22 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
23 ref 12604 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
2524feqmptd 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re
`  y ) ) )
26 fveq2 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  ( B  +  C
) ) )
2721, 22, 25, 26fmptco 5879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C ) ) ) )
2811mpteq2dva 4381 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
2927, 28eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3221, 31fmptd 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
33 ismbfcn 21112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3530, 34mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
)
3635simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
3729, 36eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )  e. MblFn )
3813, 16, 17, 20, 37, 13, 17itgaddnclem2 28454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
3912, 38eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
405, 10imaddd 12707 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
4140itgeq2dv 21262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x )
425imcld 12687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4315simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
4410imcld 12687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
4519simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e.  L^1 )
46 imf 12605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im
`  y ) ) )
49 fveq2 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  ( B  +  C
) ) )
5021, 22, 48, 49fmptco 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C ) ) ) )
5140mpteq2dva 4381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5335simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
5452, 53eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )  e. MblFn )
5542, 43, 44, 45, 54, 42, 44itgaddnclem2 28454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5641, 55eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5756oveq2d 6110 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( Im `  B
)  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
58 ax-icn 9344 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
6042, 43itgcl 21264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
6144, 45itgcl 21264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  C )  _d x  e.  CC )
6259, 60, 61adddid 9413 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6357, 62eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6439, 63oveq12d 6112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  S. A
( Re `  C
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
6513, 16itgcl 21264 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
6617, 20itgcl 21264 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  C )  _d x  e.  CC )
67 mulcl 9369 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
6858, 60, 67sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
69 mulcl 9369 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  C )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7058, 61, 69sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7165, 66, 68, 70add4d 9596 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A ( Re
`  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
7264, 71eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
73 ovex 6119 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
7473a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
754, 1, 9, 6, 30ibladdnc 28452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
7674, 75itgcnval 21280 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( B  +  C
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x ) ) )
774, 1itgcnval 21280 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
789, 6itgcnval 21280 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A ( Re `  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
7977, 78oveq12d 6112 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
8072, 76, 793eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975    e. cmpt 4353    o. ccom 4847   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   _ici 9287    + caddc 9288    x. cmul 9290   Recre 12589   Imcim 12590  MblFncmbf 21097   L^1cibl 21100   S.citg 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-disj 4266  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-rest 14364  df-topgen 14385  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-cmp 18993  df-ovol 20951  df-vol 20952  df-mbf 21102  df-itg1 21103  df-itg2 21104  df-ibl 21105  df-itg 21106  df-0p 21151
This theorem is referenced by:  itgsubnc  28457  itgmulc2nc  28463  ftc1cnnclem  28468
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