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Theorem itgaddnc 26164
Description: Choice-free analogue of itgadd 19669. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgaddnc  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
7 iblmbf 19612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 19482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
115, 10readdd 11974 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
1211itgeq2dv 19626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x )
135recld 11954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
145iblcn 19643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
151, 14mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1615simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
1710recld 11954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
1810iblcn 19643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L ^1 ) ) )
196, 18mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L ^1 ) )
2019simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e.  L ^1 )
215, 10addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
22 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
23 ref 11872 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
2524feqmptd 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re
`  y ) ) )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  ( B  +  C
) ) )
2721, 22, 25, 26fmptco 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C ) ) ) )
2811mpteq2dva 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
2927, 28eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
31 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3221, 31fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
33 ismbfcn 19476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3530, 34mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
)
3635simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
3729, 36eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )  e. MblFn )
3813, 16, 17, 20, 37, 13, 17itgaddnclem2 26163 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
3912, 38eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
405, 10imaddd 11975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
4140itgeq2dv 19626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x )
425imcld 11955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4315simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
4410imcld 11955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
4519simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e.  L ^1 )
46 imf 11873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im
`  y ) ) )
49 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  ( B  +  C
) ) )
5021, 22, 48, 49fmptco 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C ) ) ) )
5140mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5335simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
5452, 53eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )  e. MblFn )
5542, 43, 44, 45, 54, 42, 44itgaddnclem2 26163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5641, 55eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5756oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( Im `  B
)  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
58 ax-icn 9005 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
6042, 43itgcl 19628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
6144, 45itgcl 19628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  C )  _d x  e.  CC )
6259, 60, 61adddid 9068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6357, 62eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6439, 63oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  S. A
( Re `  C
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
6513, 16itgcl 19628 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
6617, 20itgcl 19628 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  C )  _d x  e.  CC )
67 mulcl 9030 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
6858, 60, 67sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
69 mulcl 9030 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  C )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7058, 61, 69sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7165, 66, 68, 70add4d 9245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A ( Re
`  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
7264, 71eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
73 ovex 6065 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
7473a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
754, 1, 9, 6, 30ibladdnc 26161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
7674, 75itgcnval 19644 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( B  +  C
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x ) ) )
774, 1itgcnval 19644 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
789, 6itgcnval 19644 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A ( Re `  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
7977, 78oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
8072, 76, 793eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951   Recre 11857   Imcim 11858  MblFncmbf 19459   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  itgsubnc  26166  itgmulc2nc  26172  ftc1cnnclem  26177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
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