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Theorem itgaddnc 28296
Description: Choice-free analogue of itgadd 21144. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgaddnc  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 21087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 20957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 iblmbf 21087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 20957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
115, 10readdd 12687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
1211itgeq2dv 21101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x )
135recld 12667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
145iblcn 21118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
151, 14mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1615simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
1710recld 12667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
1810iblcn 21118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L^1 ) ) )
196, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L^1 ) )
2019simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e.  L^1 )
215, 10addcld 9393 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
22 eqidd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
23 ref 12585 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
2524feqmptd 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re
`  y ) ) )
26 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  ( B  +  C
) ) )
2721, 22, 25, 26fmptco 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C ) ) ) )
2811mpteq2dva 4366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
2927, 28eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) ) ) )
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
31 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3221, 31fmptd 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) : A --> CC )
33 ismbfcn 20951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn ) ) )
3530, 34mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
)
3635simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
3729, 36eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )  e. MblFn )
3813, 16, 17, 20, 37, 13, 17itgaddnclem2 28295 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
3912, 38eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
405, 10imaddd 12688 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
4140itgeq2dv 21101 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x )
425imcld 12668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4315simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
4410imcld 12668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
4519simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e.  L^1 )
46 imf 12586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
4847feqmptd 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im
`  y ) ) )
49 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( B  +  C )  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  ( B  +  C
) ) )
5021, 22, 48, 49fmptco 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C ) ) ) )
5140mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  +  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) ) ) )
5335simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )  e. MblFn )
5452, 53eqeltrrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )  e. MblFn )
5542, 43, 44, 45, 54, 42, 44itgaddnclem2 28295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5641, 55eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
5756oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( Im `  B
)  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
58 ax-icn 9329 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
6042, 43itgcl 21103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
6144, 45itgcl 21103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  C )  _d x  e.  CC )
6259, 60, 61adddid 9398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6357, 62eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
6439, 63oveq12d 6098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  S. A
( Re `  C
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
6513, 16itgcl 21103 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
6617, 20itgcl 21103 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  C )  _d x  e.  CC )
67 mulcl 9354 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
6858, 60, 67sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
69 mulcl 9354 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  C )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7058, 61, 69sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
7165, 66, 68, 70add4d 9581 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A ( Re
`  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
7264, 71eqtrd 2465 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
73 ovex 6105 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
7473a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
754, 1, 9, 6, 30ibladdnc 28293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
7674, 75itgcnval 21119 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( B  +  C
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x ) ) )
774, 1itgcnval 21119 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
789, 6itgcnval 21119 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A ( Re `  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
7977, 78oveq12d 6098 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
8072, 76, 793eqtr4d 2475 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    e. cmpt 4338    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   _ici 9272    + caddc 9273    x. cmul 9275   Recre 12570   Imcim 12571  MblFncmbf 20936   L^1cibl 20939   S.citg 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cmp 18832  df-ovol 20790  df-vol 20791  df-mbf 20941  df-itg1 20942  df-itg2 20943  df-ibl 20944  df-itg 20945  df-0p 20990
This theorem is referenced by:  itgsubnc  28298  itgmulc2nc  28304  ftc1cnnclem  28309
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