Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscxpbnd 24294
 Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abscxpbnd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
abscxpbnd.3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
abscxpbnd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abscxpbnd.5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 10534 . . . . 5 1 ≤ 1
21a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 1)
3 oveq12 6558 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
43adantll 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5 0cn 9911 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
6 cxp0 24216 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0↑𝑐0) = 1
84, 7syl6eq 2660 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
98fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘1))
10 abs1 13885 . . . . 5 (abs‘1) = 1
119, 10syl6eq 2660 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 1)
12 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘0))
13 re0 13740 . . . . . . . . 9 (ℜ‘0) = 0
1412, 13syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = 0)
1514oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = (𝑀𝑐0))
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1716recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817cxp0d 24251 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑐0) = 1)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑀𝑐0) = 1)
2015, 19sylan9eqr 2666 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = 1)
21 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2221abs00bd 13879 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
2322oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = (0 · π))
24 picn 24015 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
2524mul02i 10104 . . . . . . . . 9 (0 · π) = 0
2623, 25syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = 0)
2726fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = (exp‘0))
28 ef0 14660 . . . . . . 7 (exp‘0) = 1
2927, 28syl6eq 2660 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = 1)
3020, 29oveq12d 6567 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = (1 · 1))
31 1t1e1 11052 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2660 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = 1)
332, 11, 323brtr4d 4615 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
34 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
3534oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 0cxp 24212 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
3937, 38sylan 487 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
4035, 39eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
4140abs00bd 13879 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 0)
42 0red 9920 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443abscld 14023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4543absge0d 14031 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
4742, 44, 16, 45, 46letrd 10073 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4836recld 13782 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
4916, 47, 48recxpcld 24269 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5049ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5136abscld 14023 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
53 pire 24014 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
54 remulcl 9900 . . . . . . 7 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5552, 53, 54sylancl 693 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5655reefcld 14657 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
5716, 47, 48cxpge0d 24270 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5857ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5955rpefcld 14674 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ+)
6059rpge0d 11752 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
6150, 56, 58, 60mulge0d 10483 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6241, 61eqbrtrd 4605 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6333, 62pm2.61dane 2869 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6443adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6636adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6764, 65, 66cxpefd 24258 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
6867fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
69 logcl 24119 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7043, 69sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7166, 70mulcld 9939 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
72 absef 14766 . . . . 5 ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7371, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7466recld 13782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
7570recld 13782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
7776recnd 9947 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
7866imcld 13783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
7970imcld 13783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8079renegcld 10336 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8178, 80remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8281recnd 9947 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
83 efadd 14663 . . . . . 6 ((((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8477, 82, 83syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8578, 79remulcld 9949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8685recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
8777, 86negsubd 10277 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
8878recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
8979recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9088, 89mulneg2d 10363 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) = -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
9190oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9266, 70remuld 13806 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9387, 91, 923eqtr4d 2654 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
9493fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
95 relog 24147 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9643, 95sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9796oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴))))
9897fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
9944recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10099adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10143abs00ad 13878 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
102101necon3bid 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
103102biimpar 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
10474recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
105100, 103, 104cxpefd 24258 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
10698, 105eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)))
107106oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10884, 94, 1073eqtr3d 2652 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10968, 73, 1083eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
11064abscld 14023 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11164absge0d 14031 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
112110, 111, 74recxpcld 24269 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
11381reefcld 14657 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 9949 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11549adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
116115, 113remulcld 9949 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11751, 53, 54sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
118117reefcld 14657 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
119118adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 9949 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) ∈ ℝ)
12181rpefcld 14674 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ+)
122121rpge0d 11752 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
12316adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
125124adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
12646adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 24271 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 10842 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
12957adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
13088abscld 14023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
13180recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
132131abscld 14023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
133130, 132remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
134117adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
13581leabsd 14001 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13688, 131absmuld 14041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
137135, 136breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13866abscld 14023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
139138, 132remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
140131absge0d 14031 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))))
141 absimle 13897 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
14266, 141syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 10842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
14453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → π ∈ ℝ)
14566absge0d 14031 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
14689absnegd 14036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
147 logimcl 24120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
14843, 147sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
149148simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
15053renegcli 10221 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
151 ltle 10005 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
152150, 79, 151sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
154148simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
155 absle 13903 . . . . . . . . . . . 12 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
15679, 53, 155sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
157153, 154, 156mpbir2and 959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
158146, 157eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 10843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
160133, 139, 134, 143, 159letrd 10073 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
16181, 133, 134, 137, 160letrd 10073 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
162 efle 14687 . . . . . . 7 ((((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16381, 134, 162syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
164161, 163mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 10843 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
166114, 116, 120, 128, 165letrd 10073 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
167109, 166eqbrtrd 4605 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16863, 167pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  expce 14631  πcpi 14636  logclog 24105  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  o1cxp  24501
 Copyright terms: Public domain W3C validator