MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmuld 14041
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absmuld (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 absmul 13882 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813   · cmul 9820  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  mulcn2  14174  reccn2  14175  o1mul  14193  o1rlimmul  14197  iseraltlem3  14262  geomulcvg  14446  mertenslem1  14455  fprodabs  14543  absef  14766  efieq1re  14768  lcmgcd  15158  lcmid  15160  mulgcddvds  15207  prmirredlem  19660  blcvx  22409  iblmulc2  23403  itgabs  23407  bddmulibl  23411  dveflem  23546  dvlip  23560  dvlipcn  23561  plyeq0lem  23770  aalioulem4  23894  radcnvlem1  23971  dvradcnv  23979  pserulm  23980  abelthlem5  23993  abelthlem7  23996  abslogle  24168  logtayllem  24205  abscxpbnd  24294  chordthmlem4  24362  divsqrtsumo1  24510  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem5  24559  ftalem1  24599  ftalem2  24600  ftalem5  24603  logexprlim  24750  lgsdilem2  24858  2sqlem3  24945  dchrisumlem2  24979  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  2vmadivsumlem  25029  selberglem2  25035  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem3  25068  pntibndlem2  25080  pntlemn  25089  pntlemj  25092  nmbdfnlbi  28292  nmcfnlbi  28295  bhmafibid1  28975  cnzh  29342  rezh  29343  subfaclim  30424  knoppcnlem4  31656  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem14  31686  iblmulc2nc  32645  itgabsnc  32649  cntotbnd  32765  irrapxlem2  36405  irrapxlem5  36408  pellexlem2  36412  absmulrposd  37477  imo72b2lem0  37487  radcnvrat  37535  fprodabs2  38662  dvdivbd  38813  dvbdfbdioolem1  38818  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  fourierdlem47  39046  fourierdlem68  39067  fourierdlem73  39072  fourierdlem77  39076  fourierdlem87  39086  etransclem23  39150  smfmullem1  39676
  Copyright terms: Public domain W3C validator