MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem absmuld 13564
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 13405 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1454    e. wcel 1897   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562    x. cmul 9569   abscabs 13345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347
This theorem is referenced by:  mulcn2  13707  reccn2  13708  o1mul  13726  o1rlimmul  13730  iseraltlem3  13798  geomulcvg  13980  mertenslem1  13988  fprodabs  14076  absef  14299  efieq1re  14301  lcmgcd  14620  lcmid  14622  mulgcddvds  14709  prmirredlem  19112  blcvx  21864  iblmulc2  22836  itgabs  22840  bddmulibl  22844  dveflem  22979  dvlip  22993  dvlipcn  22994  plyeq0lem  23212  aalioulem4  23339  radcnvlem1  23416  dvradcnv  23424  pserulm  23425  abelthlem5  23438  abelthlem7  23441  abslogle  23615  logtayllem  23652  abscxpbnd  23741  chordthmlem4  23809  divsqrtsumo1  23957  lgamgulmlem2  24003  lgamgulmlem3  24004  lgamgulmlem5  24006  ftalem1  24045  ftalem2  24046  ftalem5  24049  ftalem5OLD  24051  logexprlim  24201  lgsdilem2  24307  2sqlem3  24342  dchrisumlem2  24376  dchrmusum2  24380  dchrvmasumlem3  24385  dchrvmasumiflem1  24387  dchrisum0lem2a  24403  dchrisum0lem2  24404  mudivsum  24416  mulogsumlem  24417  mulog2sumlem1  24420  mulog2sumlem2  24421  2vmadivsumlem  24426  selberglem2  24432  selberg3lem1  24443  selberg4lem1  24446  pntrlog2bndlem1  24463  pntrlog2bndlem3  24465  pntibndlem2  24477  pntlemn  24486  pntlemj  24489  nmbdfnlbi  27750  nmcfnlbi  27753  bhmafibid1  28453  cnzh  28822  rezh  28823  subfaclim  29959  iblmulc2nc  32051  itgabsnc  32055  cntotbnd  32172  irrapxlem2  35711  irrapxlem5  35714  pellexlem2  35718  absmulrposd  36641  imo72b2lem0  36652  radcnvrat  36706  fprodabs2  37712  dvdivbd  37832  dvbdfbdioolem1  37837  fourierdlem30  38036  fourierdlem39  38046  fourierdlem47  38054  fourierdlem68  38075  fourierdlem73  38080  fourierdlem77  38084  fourierdlem87  38094  etransclem23  38159
  Copyright terms: Public domain W3C validator