MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Unicode version

Theorem absmuld 12932
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 12775 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272    x. cmul 9279   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  mulcn2  13065  reccn2  13066  o1mul  13084  o1rlimmul  13088  iseraltlem3  13153  geomulcvg  13328  mertenslem1  13336  absef  13473  efieq1re  13475  mulgcddvds  13782  prmirredlem  17892  prmirredlemOLD  17895  blcvx  20350  iblmulc2  21283  itgabs  21287  bddmulibl  21291  dveflem  21426  dvlip  21440  dvlipcn  21441  plyeq0lem  21653  aalioulem4  21776  radcnvlem1  21853  dvradcnv  21861  pserulm  21862  abelthlem5  21875  abelthlem7  21878  abslogle  22042  logtayllem  22079  abscxpbnd  22166  chordthmlem4  22205  divsqrsumo1  22352  ftalem1  22385  ftalem2  22386  ftalem5  22389  logexprlim  22539  lgsdilem2  22645  2sqlem3  22680  dchrisumlem2  22714  dchrmusum2  22718  dchrvmasumlem3  22723  dchrvmasumiflem1  22725  dchrisum0lem2a  22741  dchrisum0lem2  22742  mudivsum  22754  mulogsumlem  22755  mulog2sumlem1  22758  mulog2sumlem2  22759  2vmadivsumlem  22764  selberglem2  22770  selberg3lem1  22781  selberg4lem1  22784  pntrlog2bndlem1  22801  pntrlog2bndlem3  22803  pntibndlem2  22815  pntlemn  22824  pntlemj  22827  nmbdfnlbi  25404  nmcfnlbi  25407  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem5  26971  subfaclim  27028  fprodabs  27435  iblmulc2nc  28410  itgabsnc  28414  cntotbnd  28648  irrapxlem2  29117  irrapxlem5  29120  pellexlem2  29124
  Copyright terms: Public domain W3C validator