MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Unicode version

Theorem absmuld 13370
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 13212 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479    x. cmul 9486   abscabs 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154
This theorem is referenced by:  mulcn2  13503  reccn2  13504  o1mul  13522  o1rlimmul  13526  iseraltlem3  13591  geomulcvg  13770  mertenslem1  13778  fprodabs  13863  absef  14017  efieq1re  14019  mulgcddvds  14332  prmirredlem  18708  blcvx  21472  iblmulc2  22406  itgabs  22410  bddmulibl  22414  dveflem  22549  dvlip  22563  dvlipcn  22564  plyeq0lem  22776  aalioulem4  22900  radcnvlem1  22977  dvradcnv  22985  pserulm  22986  abelthlem5  22999  abelthlem7  23002  abslogle  23174  logtayllem  23211  abscxpbnd  23298  chordthmlem4  23366  divsqrtsumo1  23514  ftalem1  23547  ftalem2  23548  ftalem5  23551  logexprlim  23701  lgsdilem2  23807  2sqlem3  23842  dchrisumlem2  23876  dchrmusum2  23880  dchrvmasumlem3  23885  dchrvmasumiflem1  23887  dchrisum0lem2a  23903  dchrisum0lem2  23904  mudivsum  23916  mulogsumlem  23917  mulog2sumlem1  23920  mulog2sumlem2  23921  2vmadivsumlem  23926  selberglem2  23932  selberg3lem1  23943  selberg4lem1  23946  pntrlog2bndlem1  23963  pntrlog2bndlem3  23965  pntibndlem2  23977  pntlemn  23986  pntlemj  23989  nmbdfnlbi  27169  nmcfnlbi  27172  bhmafibid1  27869  cnzh  28188  rezh  28189  lgamgulmlem2  28839  lgamgulmlem3  28840  lgamgulmlem5  28842  subfaclim  28899  iblmulc2nc  30323  itgabsnc  30327  cntotbnd  30535  irrapxlem2  31001  irrapxlem5  31004  pellexlem2  31008  radcnvrat  31439  lcmgcd  31457  lcmid  31459  fprodabs2  31844  dvdivbd  31962  dvbdfbdioolem1  31967  fourierdlem30  32161  fourierdlem39  32170  fourierdlem47  32178  fourierdlem68  32199  fourierdlem73  32204  fourierdlem77  32208  fourierdlem87  32218  etransclem23  32282  absmulrposd  38502  imo72b2lem0  38513
  Copyright terms: Public domain W3C validator