MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Unicode version

Theorem absmuld 13057
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 12900 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390    x. cmul 9397   abscabs 12840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842
This theorem is referenced by:  mulcn2  13190  reccn2  13191  o1mul  13209  o1rlimmul  13213  iseraltlem3  13278  geomulcvg  13453  mertenslem1  13461  absef  13598  efieq1re  13600  mulgcddvds  13907  prmirredlem  18041  prmirredlemOLD  18044  blcvx  20506  iblmulc2  21440  itgabs  21444  bddmulibl  21448  dveflem  21583  dvlip  21597  dvlipcn  21598  plyeq0lem  21810  aalioulem4  21933  radcnvlem1  22010  dvradcnv  22018  pserulm  22019  abelthlem5  22032  abelthlem7  22035  abslogle  22199  logtayllem  22236  abscxpbnd  22323  chordthmlem4  22362  divsqrsumo1  22509  ftalem1  22542  ftalem2  22543  ftalem5  22546  logexprlim  22696  lgsdilem2  22802  2sqlem3  22837  dchrisumlem2  22871  dchrmusum2  22875  dchrvmasumlem3  22880  dchrvmasumiflem1  22882  dchrisum0lem2a  22898  dchrisum0lem2  22899  mudivsum  22911  mulogsumlem  22912  mulog2sumlem1  22915  mulog2sumlem2  22916  2vmadivsumlem  22921  selberglem2  22927  selberg3lem1  22938  selberg4lem1  22941  pntrlog2bndlem1  22958  pntrlog2bndlem3  22960  pntibndlem2  22972  pntlemn  22981  pntlemj  22984  nmbdfnlbi  25604  nmcfnlbi  25607  lgamgulmlem2  27159  lgamgulmlem3  27160  lgamgulmlem5  27162  subfaclim  27219  fprodabs  27627  iblmulc2nc  28604  itgabsnc  28608  cntotbnd  28842  irrapxlem2  29311  irrapxlem5  29314  pellexlem2  29318
  Copyright terms: Public domain W3C validator