MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Unicode version

Theorem absmuld 12924
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 12767 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268    x. cmul 9275   abscabs 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709
This theorem is referenced by:  mulcn2  13057  reccn2  13058  o1mul  13076  o1rlimmul  13080  iseraltlem3  13145  geomulcvg  13319  mertenslem1  13327  absef  13464  efieq1re  13466  mulgcddvds  13773  prmirredlem  17759  prmirredlemOLD  17762  blcvx  20217  iblmulc2  21150  itgabs  21154  bddmulibl  21158  dveflem  21293  dvlip  21307  dvlipcn  21308  plyeq0lem  21563  aalioulem4  21686  radcnvlem1  21763  dvradcnv  21771  pserulm  21772  abelthlem5  21785  abelthlem7  21788  abslogle  21952  logtayllem  21989  abscxpbnd  22076  chordthmlem4  22115  divsqrsumo1  22262  ftalem1  22295  ftalem2  22296  ftalem5  22299  logexprlim  22449  lgsdilem2  22555  2sqlem3  22590  dchrisumlem2  22624  dchrmusum2  22628  dchrvmasumlem3  22633  dchrvmasumiflem1  22635  dchrisum0lem2a  22651  dchrisum0lem2  22652  mudivsum  22664  mulogsumlem  22665  mulog2sumlem1  22668  mulog2sumlem2  22669  2vmadivsumlem  22674  selberglem2  22680  selberg3lem1  22691  selberg4lem1  22694  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem3  22713  pntibndlem2  22725  pntlemn  22734  pntlemj  22737  nmbdfnlbi  25276  nmcfnlbi  25279  lgamgulmlem2  26864  lgamgulmlem3  26865  lgamgulmlem5  26867  subfaclim  26924  fprodabs  27331  iblmulc2nc  28301  itgabsnc  28305  cntotbnd  28539  irrapxlem2  29009  irrapxlem5  29012  pellexlem2  29016
  Copyright terms: Public domain W3C validator