MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 24362
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA · PB = BM 2 PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 𝑋 · (1 − 𝑋) = (1 / 2) 2 − ((1 / 2) − 𝑋) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem4.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem4.X (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem4.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem4.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 9918 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 unitssre 12190 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
53, 4sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
62, 5resubcld 10337 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
76recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
87abscld 14023 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
98recnd 9947 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1312abscld 14023 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
1413recnd 9947 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
155recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1615abscld 14023 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
1716recnd 9947 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
189, 14, 17, 14mul4d 10127 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
2015, 11mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
217, 10mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2220, 21addcld 9938 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2319, 22eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2411, 23, 10, 15affineequiv2 24354 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
2519, 24mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
2625fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
277, 12absmuld 14041 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2826, 27eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2923, 10abssubd 14040 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑃)))
3011, 23, 10, 15affineequiv 24353 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
3119, 30mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
3231fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑃)) = (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))))
3315, 12absmuld 14041 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3429, 32, 333eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3528, 34oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3614sqvald 12867 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3736oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3818, 35, 373eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
392recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4039halfcld 11154 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4140sqcld 12868 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2)↑2) ∈ ℂ)
422rehalfcld 11156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4342, 5resubcld 10337 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
4443recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
4544abscld 14023 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
4645recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℂ)
4746sqcld 12868 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) ∈ ℂ)
4814sqcld 12868 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) ∈ ℂ)
4941, 47, 48subdird 10366 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
50 subsq 12834 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ) → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5140, 44, 50syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5240, 40, 15addsubassd 10291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)))
53392halvesd 11155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5453oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = (1 − 𝑋))
5552, 54eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
5640, 15nncand 10276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋)) = 𝑋)
5755, 56oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
5851, 57eqtr2d 2645 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝑋) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
59 0re 9919 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6059, 1elicc2i 12110 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
614, 60sylib 207 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
6261simp3d 1068 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ 1)
635, 2, 62abssubge0d 14018 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
6461simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
655, 64absidd 14009 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) = 𝑋)
6663, 65oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
67 absresq 13890 . . . . . . 7 (((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6843, 67syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6968oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
7058, 66, 693eqtr4d 2654 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)))
7170oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
72 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
73 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
7510, 72, 74divcan4d 10686 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
7610times2d 11153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
7776oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
7875, 77eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
79 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
8078, 79oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
8110, 10addcld 9938 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
8211, 10addcld 9938 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8381, 82, 72, 74divsubdird 10719 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
8410, 11, 10pnpcan2d 10309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
8584oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
8680, 83, 853eqtr2d 2650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
8712, 72, 74divrec2d 10684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8886, 87eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8988fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))))
9040, 12absmuld 14041 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9159a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
92 halfgt0 11125 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9491, 42, 93ltled 10064 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
9542, 94absidd 14009 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
9695oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9789, 90, 963eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9897oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
9940, 14sqmuld 12882 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
10098, 99eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
10140, 15, 12subdird 10366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10288, 31oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10382halfcld 11154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
10479, 103eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10510, 104, 23nnncan1d 10305 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
106101, 102, 1053eqtr2rd 2651 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
107106fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
10844, 12absmuld 14041 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
109107, 108eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
110109oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
11146, 14sqmuld 12882 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
112110, 111eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
113100, 112oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
11449, 71, 1133eqtr4rd 2655 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11538, 114eqtr4d 2647 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  [,]cicc 12049  cexp 12722  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  24363
  Copyright terms: Public domain W3C validator