Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivbd 38813
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivbd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvdivbd.adv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐶))
dvdivbd.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvdivbd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvdivbd.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
dvdivbd.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dvdivbd.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvdivbd.q (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
dvdivbd.cbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈)
dvdivbd.bbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅)
dvdivbd.dbd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇)
dvdivbd.abd ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄)
dvdivbd.bdv (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐷))
dvdivbd.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
dvdivbd.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
dvdivbd.ele (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
dvdivbd.f 𝐹 = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
dvdivbd (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑏,𝑥   𝐹,𝑏   𝑄,𝑏,𝑥   𝑅,𝑏,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑏,𝑥   𝑈,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐴(𝑥,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑏)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2 dvdivbd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 9949 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ)
4 dvdivbd.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 dvdivbd.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
64, 5remulcld 9949 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 9948 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ)
8 dvdivbd.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
98rpred 11748 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
109resqcld 12897 . . 3 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
118rpcnd 11750 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
128rpgt0d 11751 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐸)
1312gt0ne0d 10471 . . . 4 (𝜑𝐸 ≠ 0)
14 2z 11286 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1611, 13, 15expne0d 12876 . . 3 (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
177, 10, 16redivcld 10732 . 2 (𝜑 → (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
18 dvdivbd.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)))
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐶))
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
24 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2524abs00bd 13879 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
26 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
279adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ)
2823abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2912adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 < 𝐸)
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
3130r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ≤ (abs‘𝐵))
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 < (abs‘𝐵))
3332gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≠ 0)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) ≠ 0)
3534neneqd 2787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝐵 = 0) → ¬ (abs‘𝐵) = 0)
3625, 35pm2.65da 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐵 = 0)
3736neqned 2789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
38 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3923, 37, 38sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐷))
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 38807 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
4318, 42syl5eq 2656 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
4421, 23mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
4540, 20mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
4644, 45subcld 10271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4723sqcld 12868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
48 sqne0 12792 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
4923, 48syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
5037, 49mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0)
5146, 47, 50divcld 10680 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
5243, 51fvmpt2d 6202 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = (((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2)))
5352fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))))
5446, 47, 50absdivd 14042 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) = ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))))
5546abscld 14023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ)
567adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) ∈ ℝ)
578adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ ℝ+)
5814a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℤ)
5957, 58rpexpcld 12894 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
6047abscld 14023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) ∈ ℝ)
6146absge0d 14031 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))))
6244abscld 14023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6345abscld 14023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ∈ ℝ)
6462, 63readdcld 9948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ∈ ℝ)
6544, 45abs2dif2d 14045 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))))
663adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℝ)
676adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑇 · 𝑄) ∈ ℝ)
6821, 23absmuld 14041 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
6921abscld 14023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
701adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ ℝ)
712adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
7221absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
7323absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐶) ≤ 𝑈)
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑅)
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 10845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅))
7768, 76eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ≤ (𝑈 · 𝑅))
7840, 20absmuld 14041 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) = ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)))
7940abscld 14023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
804adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
8120abscld 14023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
825adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑄 ∈ ℝ)
8340absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐷))
8420absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐷) ≤ 𝑇)
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑄)
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 10845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘𝐷) · (abs‘𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄))
8878, 87eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐷 · 𝐴)) ≤ (𝑇 · 𝑄))
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 10525 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) + (abs‘(𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)))
9055, 64, 56, 65, 89letrd 10073 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) ≤ ((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)))
91 2nn0 11186 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
9291a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℕ0)
9326, 27, 29ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ 𝐸)
94 leexp1a 12781 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐸𝐸 ≤ (abs‘𝐵))) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))
9623, 92absexpd 14039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
9795, 96breqtrrd 4611 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐸↑2) ≤ (abs‘(𝐵↑2)))
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 11807 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴))) / (abs‘(𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
9954, 98eqbrtrd 4605 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐶 · 𝐵) − (𝐷 · 𝐴)) / (𝐵↑2))) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
10053, 99eqbrtrd 4605 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
101100ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)))
102 breq2 4587 . . . 4 (𝑏 = (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))))
103102ralbidv 2969 . . 3 (𝑏 = (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) → (∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))))
104103rspcev 3282 . 2 (((((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ (((𝑈 · 𝑅) + (𝑇 · 𝑄)) / (𝐸↑2))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
10517, 101, 104syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋 (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  +crp 11708  cexp 12722  abscabs 13822   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  39067
  Copyright terms: Public domain W3C validator