Theorem redivcld 10732

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 10623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  recp1lt1  10800  ledivp1  10804  supmul1  10869  rimul  10888  div4p1lem1div2  11164  divelunit  12185  fldiv4p1lem1div2  12498  fldiv4lem1div2uz2  12499  quoremz  12516  intfracq  12520  fldiv  12521  modmulnn  12550  modmuladd  12574  modmuladdnn0  12576  expnbnd  12855  discr1  12862  discr  12863  sqreulem  13947  fprodle  14566  fldivndvdslt  14976  flodddiv4t2lthalf  14978  iccpnfhmeo  22552  ipcau2  22841  mbfmulc2lem  23220  i1fmulc  23276  itg1mulc  23277  itg2monolem3  23325  dvferm2lem  23553  dvcvx  23587  radcnvlem1  23971  tanord1  24087  logf1o2  24196  relogbcl  24311  ang180lem2  24340  chordthmlem2  24360  jensenlem2  24514  regamcl  24587  gausslemma2dlem0d  24884  gausslemma2dlem3  24893  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem5  24896  2lgslem1a2  24915  2lgslem1  24919  2lgslem2  24920  2lgsoddprmlem2  24934  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  ostth2  25126  ttgcontlem1  25565  colinearalg  25590  axsegconlem8  25604  axpaschlem  25620  axeuclidlem  25642  nmophmi  28274  unitdivcld  29275  dya2icoseg  29666  dya2iocucvr  29673  signsply0  29954  sinccvglem  30820  circum  30822  knoppndvlem1  31673  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem17  31689  knoppndvlem18  31690  knoppndvlem19  31691  knoppndvlem21  31693  poimirlem31  32610  itg2addnclem  32631  itg2addnclem2  32632  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  pellexlem1  36411  pellexlem6  36416  reglogcl  36472  modabsdifz  36571  areaquad  36821  imo72b2  37497  hashnzfzclim  37543  sineq0ALT  38195  suplesup  38496  reclt0d  38548  xrralrecnnge  38554  ltdiv23neg  38558  iooiinioc  38630  0ellimcdiv  38716  dvdivbd  38813  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  stoweidlem1  38894  stoweidlem13  38906  stoweidlem26  38919  stoweidlem34  38927  stoweidlem36  38929  stoweidlem51  38944  stoweidlem60  38953  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  stirlingr  38983  dirker2re  38985  dirkerval2  38987  dirkerre  38988  dirkertrigeq  38994  dirkeritg  38995  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem4  38999  fourierdlem4  39004  fourierdlem7  39007  fourierdlem9  39009  fourierdlem16  39016  fourierdlem19  39019  fourierdlem21  39021  fourierdlem22  39022  fourierdlem24  39024  fourierdlem26  39026  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem43  39043  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem51  39050  fourierdlem56  39055  fourierdlem57  39056  fourierdlem58  39057  fourierdlem59  39058  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem66  39065  fourierdlem71  39070  fourierdlem72  39071  fourierdlem78  39077  fourierdlem83  39082  fourierdlem87  39086  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem95  39094  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  etransclem48  39175  qndenserrnbllem  39190  sge0rpcpnf  39314  sge0ad2en  39324  ovnsubaddlem1  39460  hoidmvlelem3  39487  ovolval5lem1  39542  ovolval5lem2  39543  vonioolem2  39572  vonicclem2  39575  pimrecltneg  39610  smfrec  39674  smfdiv  39682  sigardiv  39699  lighneallem2  40061  modn0mul  42109  refdivmptf  42134  fldivexpfllog2  42157  dignnld  42195  dig2nn1st  42197  dig2bits  42206  dignn0flhalflem2  42208