Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclt0d 38548
 Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reclt0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reclt0d.2 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
reclt0d (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Proof of Theorem reclt0d
StepHypRef Expression
1 0lt1 10429 . . 3 0 < 1
21a1i 11 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 1)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
4 0red 9920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
5 1red 9934 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 reclt0d.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 reclt0d.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 0)
87lt0ne0d 10472 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
95, 6, 8redivcld 10732 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
114, 10lenltd 10062 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
123, 11mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
136recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1413, 8recidd 10675 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
1514eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
17 0red 9920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
186, 17, 7ltled 10064 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ 0)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
20 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
2119, 20jca 553 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
2221orcd 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0)))
23 mulle0b 10773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
246, 9, 23syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
2622, 25mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0)
2716, 26eqbrtrd 4605 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ≤ 0)
285adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
29 0red 9920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3028, 29lenltd 10062 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1))
3127, 30mpbid 221 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ¬ 0 < 1)
3212, 31syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ 0 < 1)
332, 32condan 831 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564 This theorem is referenced by:  reclt0  38555  ltdiv23neg  38558  pimrecltpos  39596
 Copyright terms: Public domain W3C validator