Proof of Theorem wallispilem5
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | wallispilem5.1 |
. . 3
⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2
· 𝑘) / ((2 ·
𝑘) + 1)))) |
2 | | wallispilem5.2 |
. . 3
⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦
∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) |
3 | | wallispilem5.3 |
. . 3
⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) |
4 | | wallispilem5.4 |
. . 3
⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) ·
(1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) |
5 | 1, 2, 3, 4 | wallispilem4 38961 |
. 2
⊢ 𝐺 = 𝐻 |
6 | | nnuz 11599 |
. . . 4
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
7 | | 1zzd 11285 |
. . . 4
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ℤ) |
8 | | wallispilem5.5 |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) |
9 | | 2cnd 10970 |
. . . . 5
⊢ (⊤
→ 2 ∈ ℂ) |
10 | | 2ne0 10990 |
. . . . . 6
⊢ 2 ≠
0 |
11 | 10 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (⊤
→ 2 ≠ 0) |
12 | | 1cnd 9935 |
. . . . 5
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ℂ) |
13 | 8, 9, 11, 12 | clim1fr1 38668 |
. . . 4
⊢ (⊤
→ 𝐿 ⇝
1) |
14 | | nnex 10903 |
. . . . . . 7
⊢ ℕ
∈ V |
15 | 14 | mptex 6390 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V |
16 | 3, 15 | eqeltri 2684 |
. . . . 5
⊢ 𝐺 ∈ V |
17 | 16 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (⊤
→ 𝐺 ∈
V) |
18 | | 2nn0 11186 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈
ℕ0) |
20 | | nnnn0 11176 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℕ0) |
21 | 19, 20 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ∈
ℕ0) |
22 | | 1nn0 11185 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈
ℕ0) |
24 | 21, 23 | nn0addcld 11232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2
· 𝑛) + 1) ∈
ℕ0) |
25 | 24 | nn0red 11229 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2
· 𝑛) + 1) ∈
ℝ) |
26 | 21 | nn0red 11229 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ∈
ℝ) |
27 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈
ℂ) |
28 | | nncn 10905 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℂ) |
29 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠
0) |
30 | | nnne0 10930 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0) |
31 | 27, 28, 29, 30 | mulne0d 10558 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ≠
0) |
32 | 25, 26, 31 | redivcld 10732 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2
· 𝑛) + 1) / (2
· 𝑛)) ∈
ℝ) |
33 | 8, 32 | fmpti 6291 |
. . . . . 6
⊢ 𝐿:ℕ⟶ℝ |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (⊤
→ 𝐿:ℕ⟶ℝ) |
35 | 34 | ffvelrnda 6267 |
. . . 4
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → (𝐿‘𝑘) ∈ ℝ) |
36 | 2 | wallispilem3 38960 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((2
· 𝑛) ∈
ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈
ℝ+) |
37 | 21, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈
ℝ+) |
38 | 37 | rpred 11748 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈
ℝ) |
39 | 2 | wallispilem3 38960 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((2
· 𝑛) + 1) ∈
ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈
ℝ+) |
40 | 24, 39 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈
ℝ+) |
41 | 38, 40 | rerpdivcld 11779 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ) |
42 | 3, 41 | fmpti 6291 |
. . . . . 6
⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (⊤
→ 𝐺:ℕ⟶ℝ) |
44 | 43 | ffvelrnda 6267 |
. . . 4
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
45 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℕ0) |
46 | | nnnn0 11176 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℕ0) |
47 | 45, 46 | nn0mulcld 11233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℕ0) |
48 | 2 | wallispilem3 38960 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((2
· 𝑘) ∈
ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈
ℝ+) |
49 | 47, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈
ℝ+) |
50 | 49 | rpred 11748 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈
ℝ) |
51 | | 2nn 11062 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℕ |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℕ) |
53 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℕ) |
54 | 52, 53 | nnmulcld 10945 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℕ) |
55 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((2
· 𝑘) ∈ ℕ
→ ((2 · 𝑘)
− 1) ∈ ℕ0) |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℕ0) |
57 | 2 | wallispilem3 38960 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈
ℝ+) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈
ℝ+) |
59 | 58 | rpred 11748 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈
ℝ) |
60 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈
ℕ0) |
61 | 47, 60 | nn0addcld 11232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ∈
ℕ0) |
62 | 2 | wallispilem3 38960 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((2
· 𝑘) + 1) ∈
ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈
ℝ+) |
63 | 61, 62 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈
ℝ+) |
64 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℂ) |
65 | | nncn 10905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℂ) |
66 | 64, 65 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℂ) |
67 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈
ℂ) |
68 | 66, 67 | npcand 10275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) − 1) + 1)
= (2 · 𝑘)) |
69 | 68 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘))) |
70 | 2, 56 | wallispilem1 38958 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) |
71 | 69, 70 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) |
72 | 50, 59, 63, 71 | lediv1dd 11806 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
73 | 66, 67 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ∈
ℂ) |
74 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠
0) |
75 | | nnne0 10930 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0) |
76 | 64, 65, 74, 75 | mulne0d 10558 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ≠
0) |
77 | 73, 66, 76 | divcld 10680 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) ∈
ℂ) |
78 | 63 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈
ℂ) |
79 | 63 | rpne0d 11753 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0) |
80 | 77, 78, 79 | divcan4d 10686 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) ·
(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘))) |
81 | | 2re 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℝ |
82 | 81 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℝ) |
83 | | nnre 10904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℝ) |
84 | 82, 83 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℝ) |
85 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈
ℝ) |
86 | 84, 85 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ∈
ℝ) |
87 | 45 | nn0ge0d 11231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤
2) |
88 | | nnge1 10923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤
𝑘) |
89 | 82, 83, 87, 88 | lemulge11d 10840 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2
· 𝑘)) |
90 | 84 | ltp1d 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) < ((2
· 𝑘) +
1)) |
91 | 82, 84, 86, 89, 90 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 <
((2 · 𝑘) +
1)) |
92 | 82, 86, 91 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤
((2 · 𝑘) +
1)) |
93 | 45 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℤ) |
94 | 61 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ∈
ℤ) |
95 | | eluz 11577 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 ·
𝑘) + 1) ∈
(ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))) |
96 | 93, 94, 95 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) + 1) ∈
(ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))) |
97 | 92, 96 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ∈
(ℤ≥‘2)) |
98 | 2, 97 | itgsinexp 38846 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 ·
𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) −
2)))) |
99 | 66, 67 | pncand 10272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) + 1) − 1)
= (2 · 𝑘)) |
100 | 99 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2
· 𝑘) + 1) − 1)
/ ((2 · 𝑘) + 1)) =
((2 · 𝑘) / ((2
· 𝑘) +
1))) |
101 | | 1e2m1 11013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 = (2
− 1) |
102 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2
− 1)) |
103 | 102 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1) =
((2 · 𝑘) − (2
− 1))) |
104 | 66, 64, 67 | subsub3d 10301 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − (2
− 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2)) |
105 | 103, 104 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) + 1) − 2)
= ((2 · 𝑘) −
1)) |
106 | 105 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) |
107 | 100, 106 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2
· 𝑘) + 1) − 1)
/ ((2 · 𝑘) + 1))
· (𝐼‘(((2
· 𝑘) + 1) −
2))) = (((2 · 𝑘) /
((2 · 𝑘) + 1))
· (𝐼‘((2
· 𝑘) −
1)))) |
108 | 98, 107 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))) |
109 | 108 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) ·
(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) −
1))))) |
110 | 54 | peano2nnd 10914 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ∈
ℕ) |
111 | 110 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) + 1) ≠
0) |
112 | 66, 73, 111 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) / ((2 ·
𝑘) + 1)) ∈
ℂ) |
113 | 58 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
114 | 77, 112, 113 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) · ((2
· 𝑘) / ((2 ·
𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 ·
𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) −
1))))) |
115 | 73, 66, 111, 76 | divcan6d 10699 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) · ((2
· 𝑘) / ((2 ·
𝑘) + 1))) =
1) |
116 | 115 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) · ((2
· 𝑘) / ((2 ·
𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 ·
(𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))) |
117 | 113 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1
· (𝐼‘((2
· 𝑘) − 1))) =
(𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) |
118 | 116, 117 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) · ((2
· 𝑘) / ((2 ·
𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) |
119 | 109, 114,
118 | 3eqtr2d 2650 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) ·
(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) |
120 | 119 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) ·
(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
121 | 80, 120 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) + 1) / (2
· 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
122 | 72, 121 | breqtrrd 4611 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘))) |
123 | 49, 63 | rpdivcld 11765 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈
ℝ+) |
124 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛𝑘 |
125 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦
∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) |
126 | 2, 125 | nfcxfr 2749 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛𝐼 |
127 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛(2
· 𝑘) |
128 | 126, 127 | nffv 6110 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘)) |
129 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛
/ |
130 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛((2
· 𝑘) +
1) |
131 | 126, 130 | nffv 6110 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) |
132 | 128, 129,
131 | nfov 6575 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) |
133 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘)) |
134 | 133 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘))) |
135 | 133 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) |
136 | 135 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) |
137 | 134, 136 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
138 | 124, 132,
137, 3 | fvmptf 6209 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+) →
(𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
139 | 123, 138 | mpdan 699 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
140 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))) |
141 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘) |
142 | 141 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘)) |
143 | 142 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) |
144 | 143, 142 | oveq12d 6567 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘))) |
145 | 140, 144,
53, 77 | fvmptd 6197 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿‘𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘))) |
146 | 122, 139,
145 | 3brtr4d 4615 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘)) |
147 | 146 | adantl 481 |
. . . 4
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘)) |
148 | 78, 79 | dividd 10678 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1) |
149 | 63 | rpred 11748 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈
ℝ) |
150 | 2, 47 | wallispilem1 38958 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘))) |
151 | 149, 50, 63, 150 | lediv1dd 11806 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
152 | 148, 151 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤
((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))) |
153 | 152, 139 | breqtrrd 4611 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤
(𝐺‘𝑘)) |
154 | 153 | adantl 481 |
. . . 4
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺‘𝑘)) |
155 | 6, 7, 13, 17, 35, 44, 147, 154 | climsqz2 14220 |
. . 3
⊢ (⊤
→ 𝐺 ⇝
1) |
156 | 155 | trud 1484 |
. 2
⊢ 𝐺 ⇝ 1 |
157 | 5, 156 | eqbrtrri 4606 |
1
⊢ 𝐻 ⇝ 1 |