MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Unicode version

Theorem redivcld 10363
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 10254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762    =/= wne 2657  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    / cdiv 10197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198
This theorem is referenced by:  recp1lt1  10434  ledivp1  10438  supmul1  10499  rimul  10518  divelunit  11653  quoremz  11940  intfracq  11944  fldiv  11945  modmulnn  11971  expnbnd  12252  discr1  12259  discr  12260  sqreulem  13143  iccpnfhmeo  21175  ipcau2  21407  mbfmulc2lem  21784  i1fmulc  21840  itg1mulc  21841  itg2monolem3  21889  dvferm2lem  22117  dvcvx  22151  radcnvlem1  22537  tanord1  22652  logf1o2  22754  ang180lem2  22865  chordthmlem2  22887  jensenlem2  23040  selberg3lem1  23465  selberg4lem1  23468  ostth2  23545  ttgcontlem1  23859  colinearalg  23884  axsegconlem8  23898  axpaschlem  23914  axeuclidlem  23936  nmophmi  26614  unitdivcld  27507  rnlogbcl  27645  relogbcl  27646  dya2icoseg  27876  dya2iocucvr  27883  signsply0  28136  regamcl  28231  sinccvglem  28501  circum  28503  itg2addnclem  29632  itg2addnclem2  29633  areacirclem1  29673  areacirclem4  29676  pellexlem1  30358  pellexlem6  30363  reglogcl  30419  modabsdifz  30522  areaquad  30780  lefldiveq  31016  ioomidp  31075  lptre2pt  31139  0ellimcdiv  31148  dvdivbd  31210  ioodvbdlimc1lem1  31218  ioodvbdlimc1lem2  31219  ioodvbdlimc2lem  31221  stoweidlem1  31258  stoweidlem13  31270  stoweidlem26  31283  stoweidlem34  31291  stoweidlem36  31293  stoweidlem51  31308  stoweidlem60  31317  wallispilem4  31325  wallispilem5  31326  stirlingr  31347  dirker2re  31349  dirkerval2  31351  dirkerre  31352  dirkertrigeq  31358  dirkeritg  31359  dirkercncflem1  31360  dirkercncflem4  31363  fourierdlem4  31368  fourierdlem7  31371  fourierdlem9  31373  fourierdlem16  31380  fourierdlem19  31383  fourierdlem21  31385  fourierdlem22  31386  fourierdlem24  31388  fourierdlem26  31390  fourierdlem30  31394  fourierdlem39  31403  fourierdlem41  31405  fourierdlem42  31406  fourierdlem43  31407  fourierdlem45  31409  fourierdlem47  31411  fourierdlem48  31412  fourierdlem49  31413  fourierdlem51  31415  fourierdlem56  31420  fourierdlem57  31421  fourierdlem58  31422  fourierdlem59  31423  fourierdlem62  31426  fourierdlem63  31427  fourierdlem64  31428  fourierdlem65  31429  fourierdlem66  31430  fourierdlem68  31432  fourierdlem71  31435  fourierdlem72  31436  fourierdlem78  31442  fourierdlem79  31443  fourierdlem83  31447  fourierdlem87  31451  fourierdlem89  31453  fourierdlem90  31454  fourierdlem91  31455  fourierdlem95  31459  fourierdlem103  31467  fourierdlem104  31468  fourierdlem112  31476  sigardiv  31502  sineq0ALT  32694
  Copyright terms: Public domain W3C validator