MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Unicode version

Theorem redivcld 10180
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 10071 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    =/= wne 2620  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    / cdiv 10014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015
This theorem is referenced by:  recp1lt1  10251  ledivp1  10255  supmul1  10316  rimul  10334  divelunit  11448  quoremz  11715  intfracq  11719  fldiv  11720  modmulnn  11746  expnbnd  12014  discr1  12021  discr  12022  sqreulem  12868  iccpnfhmeo  20539  ipcau2  20771  mbfmulc2lem  21147  i1fmulc  21203  itg1mulc  21204  itg2monolem3  21252  dvferm2lem  21480  dvcvx  21514  radcnvlem1  21900  tanord1  22015  logf1o2  22117  ang180lem2  22228  chordthmlem2  22250  jensenlem2  22403  selberg3lem1  22828  selberg4lem1  22831  ostth2  22908  ttgcontlem1  23153  colinearalg  23178  axsegconlem8  23192  axpaschlem  23208  axeuclidlem  23230  nmophmi  25457  unitdivcld  26353  rnlogbcl  26482  relogbcl  26483  dya2icoseg  26714  dya2iocucvr  26721  signsply0  26974  regamcl  27069  sinccvglem  27339  circum  27341  itg2addnclem  28469  itg2addnclem2  28470  areacirclem1  28510  areacirclem4  28513  pellexlem1  29196  pellexlem6  29201  reglogcl  29257  modabsdifz  29360  areaquad  29618  stoweidlem1  29822  stoweidlem13  29834  stoweidlem26  29847  stoweidlem34  29855  stoweidlem36  29857  stoweidlem51  29872  stoweidlem60  29881  wallispilem4  29889  wallispilem5  29890  stirlingr  29911  sigardiv  29923  sineq0ALT  31769
  Copyright terms: Public domain W3C validator