MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem redivcld 10463
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 10354 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1276 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898    =/= wne 2633  (class class class)co 6315   RRcr 9564   0cc0 9565    / cdiv 10297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298
This theorem is referenced by:  recp1lt1  10532  ledivp1  10536  supmul1  10604  rimul  10628  divelunit  11803  quoremz  12114  intfracq  12118  fldiv  12119  modmulnn  12146  expnbnd  12433  discr1  12440  discr  12441  sqreulem  13471  fprodle  14099  iccpnfhmeo  22022  ipcau2  22257  mbfmulc2lem  22652  i1fmulc  22710  itg1mulc  22711  itg2monolem3  22759  dvferm2lem  22987  dvcvx  23021  radcnvlem1  23417  tanord1  23535  logf1o2  23644  relogbcl  23759  ang180lem2  23788  chordthmlem2  23808  jensenlem2  23962  regamcl  24035  selberg3lem1  24444  selberg4lem1  24447  ostth2  24524  ttgcontlem1  24964  colinearalg  24989  axsegconlem8  25003  axpaschlem  25019  axeuclidlem  25041  nmophmi  27733  unitdivcld  28756  dya2icoseg  29148  dya2iocucvr  29155  signsply0  29489  sinccvglem  30365  circum  30367  poimirlem31  32016  itg2addnclem  32038  itg2addnclem2  32039  areacirclem1  32077  areacirclem4  32080  pellexlem1  35718  pellexlem6  35723  reglogcl  35783  modabsdifz  35884  areaquad  36146  imo72b2  36663  hashnzfzclim  36715  sineq0ALT  37374  suplesup  37600  0ellimcdiv  37768  dvdivbd  37833  ioodvbdlimc1lem1  37841  ioodvbdlimc1lem2  37842  ioodvbdlimc1lem1OLD  37843  ioodvbdlimc1lem2OLD  37844  ioodvbdlimc2lem  37846  ioodvbdlimc2lemOLD  37847  stoweidlem1  37899  stoweidlem13  37911  stoweidlem26  37924  stoweidlem34  37933  stoweidlem36  37935  stoweidlem51  37950  stoweidlem60  37959  wallispilem4  37968  wallispilem5  37969  stirlingr  37990  dirker2re  37992  dirkerval2  37994  dirkerre  37995  dirkertrigeq  38001  dirkeritg  38002  dirkercncflem1  38003  dirkercncflem4  38006  fourierdlem4  38011  fourierdlem7  38014  fourierdlem9  38016  fourierdlem16  38023  fourierdlem19  38026  fourierdlem21  38028  fourierdlem22  38029  fourierdlem24  38031  fourierdlem26  38033  fourierdlem30  38037  fourierdlem39  38047  fourierdlem41  38049  fourierdlem42  38050  fourierdlem42OLD  38051  fourierdlem43  38052  fourierdlem47  38055  fourierdlem48  38056  fourierdlem49  38057  fourierdlem51  38059  fourierdlem56  38064  fourierdlem57  38065  fourierdlem58  38066  fourierdlem59  38067  fourierdlem63  38071  fourierdlem64  38072  fourierdlem66  38074  fourierdlem71  38079  fourierdlem72  38080  fourierdlem78  38086  fourierdlem83  38091  fourierdlem87  38095  fourierdlem89  38097  fourierdlem90  38098  fourierdlem91  38099  fourierdlem95  38103  fourierdlem103  38111  fourierdlem104  38112  etransclem48OLD  38185  etransclem48  38186  qndenserrnbllem  38201  sge0rpcpnf  38301  sge0ad2en  38311  ovnsubaddlem1  38430  hoidmvlelem3  38457  sigardiv  38508  modn0mul  40596  refdivmptf  40626  fldivexpfllog2  40649  dignnld  40687  dig2nn1st  40689  dig2bits  40698  dignn0flhalflem2  40700
  Copyright terms: Public domain W3C validator