MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Unicode version

Theorem redivcld 10146
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 10037 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1211 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269    / cdiv 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981
This theorem is referenced by:  recp1lt1  10217  ledivp1  10221  supmul1  10282  rimul  10300  divelunit  11413  quoremz  11677  quoremnn0  11678  intfracq  11681  fldiv  11682  modmulnn  11708  expnbnd  11976  discr1  11983  discr  11984  sqreulem  12830  iccpnfhmeo  20358  ipcau2  20590  mbfmulc2lem  20966  i1fmulc  21022  itg1mulc  21023  itg2monolem3  21071  dvferm2lem  21299  dvcvx  21333  radcnvlem1  21762  tanord1  21877  logf1o2  21979  ang180lem2  22090  chordthmlem2  22112  jensenlem2  22265  selberg3lem1  22690  selberg4lem1  22693  ostth2  22770  ttgcontlem1  22953  colinearalg  22978  axsegconlem8  22992  axpaschlem  23008  axeuclidlem  23030  nmophmi  25257  unitdivcld  26184  rnlogbcl  26313  relogbcl  26314  dya2icoseg  26545  dya2iocucvr  26552  signsply0  26799  regamcl  26894  sinccvglem  27163  circum  27165  itg2addnclem  28284  itg2addnclem2  28285  areacirclem1  28325  areacirclem4  28328  pellexlem1  29012  pellexlem6  29017  reglogcl  29073  modabsdifz  29176  stoweidlem1  29639  stoweidlem13  29651  stoweidlem26  29664  stoweidlem34  29672  stoweidlem36  29674  stoweidlem51  29689  stoweidlem60  29698  wallispilem4  29706  wallispilem5  29707  stirlingr  29728  sigardiv  29740  sineq0ALT  31372
  Copyright terms: Public domain W3C validator