MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Unicode version

Theorem redivcld 10393
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 10284 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819    =/= wne 2652  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    / cdiv 10227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228
This theorem is referenced by:  recp1lt1  10463  ledivp1  10467  supmul1  10528  rimul  10547  divelunit  11687  quoremz  11985  intfracq  11989  fldiv  11990  modmulnn  12016  expnbnd  12298  discr1  12305  discr  12306  sqreulem  13204  iccpnfhmeo  21571  ipcau2  21803  mbfmulc2lem  22180  i1fmulc  22236  itg1mulc  22237  itg2monolem3  22285  dvferm2lem  22513  dvcvx  22547  radcnvlem1  22934  tanord1  23050  logf1o2  23157  ang180lem2  23268  chordthmlem2  23290  jensenlem2  23443  selberg3lem1  23868  selberg4lem1  23871  ostth2  23948  ttgcontlem1  24315  colinearalg  24340  axsegconlem8  24354  axpaschlem  24370  axeuclidlem  24392  nmophmi  27077  unitdivcld  28044  rnlogbcl  28178  relogbcl  28179  dya2icoseg  28421  dya2iocucvr  28428  signsply0  28705  regamcl  28800  sinccvglem  29235  circum  29237  itg2addnclem  30271  itg2addnclem2  30272  areacirclem1  30312  areacirclem4  30315  pellexlem1  30969  pellexlem6  30974  reglogcl  31030  modabsdifz  31131  areaquad  31388  hashnzfzclim  31431  fprodle  31807  0ellimcdiv  31858  dvdivbd  31923  ioodvbdlimc1lem1  31931  ioodvbdlimc1lem2  31932  ioodvbdlimc2lem  31934  stoweidlem1  31986  stoweidlem13  31998  stoweidlem26  32011  stoweidlem34  32019  stoweidlem36  32021  stoweidlem51  32036  stoweidlem60  32045  wallispilem4  32053  wallispilem5  32054  stirlingr  32075  dirker2re  32077  dirkerval2  32079  dirkerre  32080  dirkertrigeq  32086  dirkeritg  32087  dirkercncflem1  32088  dirkercncflem4  32091  fourierdlem4  32096  fourierdlem7  32099  fourierdlem9  32101  fourierdlem16  32108  fourierdlem19  32111  fourierdlem21  32113  fourierdlem22  32114  fourierdlem24  32116  fourierdlem26  32118  fourierdlem30  32122  fourierdlem39  32131  fourierdlem41  32133  fourierdlem42  32134  fourierdlem43  32135  fourierdlem47  32139  fourierdlem48  32140  fourierdlem49  32141  fourierdlem51  32143  fourierdlem56  32148  fourierdlem57  32149  fourierdlem58  32150  fourierdlem59  32151  fourierdlem63  32155  fourierdlem64  32156  fourierdlem66  32158  fourierdlem71  32163  fourierdlem72  32164  fourierdlem78  32170  fourierdlem83  32175  fourierdlem87  32179  fourierdlem89  32181  fourierdlem90  32182  fourierdlem91  32183  fourierdlem95  32187  fourierdlem103  32195  fourierdlem104  32196  etransclem48  32268  sigardiv  32281  sineq0ALT  33880  imo72b2  38185
  Copyright terms: Public domain W3C validator