MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logf1o2 24196
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -π < ℑ(𝑧) < π. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to π. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logf1o2 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 24115 . . . 4 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1of1 6049 . . . 4 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log)
31, 2ax-mp 5 . . 3 log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log
4 logcn.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 24188 . . 3 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1ores 6064 . . 3 ((log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷))
73, 5, 6mp2an 704 . 2 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷)
8 f1ofun 6052 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Fun log
10 f1of 6050 . . . . . . . . 9 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
1211fdmi 5965 . . . . . . 7 dom log = (ℂ ∖ {0})
135, 12sseqtr4i 3601 . . . . . 6 𝐷 ⊆ dom log
14 funimass4 6157 . . . . . 6 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
159, 13, 14mp2an 704 . . . . 5 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
164ellogdm 24185 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1716simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
184logdmn0 24186 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1917, 18logcld 24121 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2019imcld 13783 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2117, 18logimcld 24122 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
2221simpld 474 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
234logdmnrp 24187 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
24 lognegb 24140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2517, 18, 24syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2625necon3bbid 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2723, 26mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2827necomd 2837 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
29 pire 24014 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
3121simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
3220, 30, 31leltned 10069 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((ℑ‘(log‘𝑥)) < π ↔ π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥))))
3328, 32mpbird 246 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
3429renegcli 10221 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
3534rexri 9976 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ*
3629rexri 9976 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
37 elioo2 12087 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3835, 36, 37mp2an 704 . . . . . . 7 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1239 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
40 imf 13701 . . . . . . 7 ℑ:ℂ⟶ℝ
41 ffn 5958 . . . . . . 7 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
42 elpreima 6245 . . . . . . 7 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
4419, 39, 43sylanbrc 695 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
4515, 44mprgbir 2911 . . . 4 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
46 elpreima 6245 . . . . . . 7 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
48 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49 eliooord 12104 . . . . . . . . . . 11 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
5049adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
5150simpld 474 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → -π < (ℑ‘𝑥))
5250simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
53 imcl 13699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
55 ltle 10005 . . . . . . . . . . 11 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) < π → (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5654, 29, 55sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) < π → (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≤ π)
58 ellogrn 24110 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran log ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1239 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
60 logef 24132 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
62 efcl 14652 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
6564recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
66 picn 24015 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
68 pipos 24016 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
6929, 68gt0ne0ii 10443 . . . . . . . . . . . . . 14 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ≠ 0)
7152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) < π)
7266mulid1i 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π · 1) = π
7371, 72syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) < (π · 1))
74 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ∈ ℝ)
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 < π)
78 ltdivmul 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (((ℑ‘𝑥) / π) < 1 ↔ (ℑ‘𝑥) < (π · 1)))
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) < 1 ↔ (ℑ‘𝑥) < (π · 1)))
8073, 79mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) < 1)
81 1e0p1 11428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
8280, 81syl6breq 4624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1))
8364recoscld 14713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (cos‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
8464resincld 14712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
8583, 84crimd 13820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) = (sin‘(ℑ‘𝑥)))
86 efeul 14731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) = ((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))))
8786ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) = ((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))))
8887oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = (((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) / (exp‘(ℜ‘𝑥))))
8983recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (cos‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
90 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i ∈ ℂ
9184recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
92 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))) ∈ ℂ)
9390, 91, 92sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))) ∈ ℂ)
9489, 93addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))) ∈ ℂ)
95 recl 13698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
9695ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
9796recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
98 efcl 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℜ‘𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℂ)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℂ)
100 efne0 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℜ‘𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ≠ 0)
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ≠ 0)
10294, 99, 101divcan3d 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))))
10388, 102eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))))
104 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
10596reefcld 14657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℝ)
106104, 105, 101redivcld 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) ∈ ℝ)
107103, 106eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))) ∈ ℝ)
108107reim0d 13813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) = 0)
10985, 108eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0)
110 sineq0 24077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ‘𝑥) ∈ ℂ → ((sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ))
11165, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ))
112109, 111mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ)
113 0z 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
114 zleltp1 11305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1)))
115112, 113, 114sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1)))
11682, 115mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0)
117 df-neg 10148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 − 1)
11866mulm1i 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · π) = -π
11951adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -π < (ℑ‘𝑥))
120118, 119syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (-1 · π) < (ℑ‘𝑥))
12174renegcli 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
123 ltmuldiv 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → ((-1 · π) < (ℑ‘𝑥) ↔ -1 < ((ℑ‘𝑥) / π)))
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((-1 · π) < (ℑ‘𝑥) ↔ -1 < ((ℑ‘𝑥) / π)))
125120, 124mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -1 < ((ℑ‘𝑥) / π))
126117, 125syl5eqbrr 4619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π))
127 zlem1lt 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ) → (0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π) ↔ (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π)))
128113, 112, 127sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π) ↔ (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π)))
129126, 128mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))
13064, 76, 70redivcld 10732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℝ)
131 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 letri3 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) = 0 ↔ (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))))
133130, 131, 132sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) = 0 ↔ (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))))
134116, 129, 133mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) = 0)
13565, 67, 70, 134diveq0d 10687 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) = 0)
136 reim0b 13707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
137136ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
138135, 137mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
139138rpefcld 14674 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
140139ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+))
1414ellogdm 24185 . . . . . . . . 9 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)))
14263, 140, 141sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
143 funfvima2 6397 . . . . . . . . 9 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
1449, 13, 143mp2an 704 . . . . . . . 8 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
145142, 144syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
14661, 145eqeltrrd 2689 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
14747, 146sylbi 206 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
148147ssriv 3572 . . . 4 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
14945, 148eqssi 3584 . . 3 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
150 f1oeq3 6042 . . 3 ((log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π)) → ((log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷) ↔ (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))))
151149, 150ax-mp 5 . 2 ((log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷) ↔ (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π)))
1527, 151mpbi 219 1 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  cdif 3537  wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  wf 5800  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cz 11254  +crp 11708  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  cre 13685  cim 13686  expce 14631  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636  logclog 24105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107
This theorem is referenced by:  efopnlem2  24203
  Copyright terms: Public domain W3C validator