Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11277 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2 modmuladdim 12575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
31, 2sylan 487 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
43imp 444 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
5 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
65adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
98ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
11 modcl 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
1312recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
15 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1714, 16mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
21 rpcn 11717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
2322ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2420, 23mulcld 9939 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
259, 18, 24subadd2d 10290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
26 eqcom 2617 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
2725, 26syl6rbbr 278 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
287ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928, 17subcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
31 rpcnne0 11726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
3332ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
34 divmul3 10569 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
3530, 20, 33, 34syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
36 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3736oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3837eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
41 moddiffl 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4210, 41sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4342ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4440, 43eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4544eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4627, 35, 453bitr2d 295 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
47 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
4810, 47jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
49 rpregt0 11722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50 divge0 10771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5148, 49, 50syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 rpre 11715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
55 rpne0 11724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ≠ 0)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
5752, 54, 56redivcld 10732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
58 0z 11265 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
59 flge 12468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6057, 58, 59sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6151, 60mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
62 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
6361, 62syl5ibcom 234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6463ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6546, 64sylbid 229 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6665imp 444 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
67 elnn0z 11267 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
686, 66, 67sylanbrc 695 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
69 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
7069oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7170eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7271adantl 481 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
73 simpr 476 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7468, 72, 73rspcedvd 3289 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
7574ex 449 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
7675rexlimdva 3013 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
774, 76mpd 15 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
7877ex 449 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fl 12455  df-mod 12531 This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  24925  2lgslem3b1  24926  2lgslem3c1  24927  2lgslem3d1  24928
 Copyright terms: Public domain W3C validator